Atps Calculo 3

Etapa3

Aula-tema: Cálculo de Área.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área, usando a teoria de integrais para tanto. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo1

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo

2.1 Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Resposta

O calculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Em um problema de cubatura a integral é usada para determinar o valor exato de um solido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

Entre os diversos nomes que, decerta forma, moldaram a integral como a conhecemos hoje, pode-se citar: Hipócrates de Chios (aprox. 440 a.C.) executou as primeiras quadraturas e encontrou a áreas de certas lúnulas (região parecida com a lua próxima de seu quarto crescente). Antiphon (cerca de 430 a.C.) que alegou poder encontrar a área de um circulo com uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos, com cada vez mais lados, mas como sua quadratura exigia infinitos polígonos nunca poderia ser terminada sem o conceito moderno de limite. Ele deu origem ao método de exaustão. Arquimedes (287 – 212 a.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola, aproximando sua área com um grande número de triângulos.

Durante o período medieval no Ocidente as ideias de calculo foram aplicadas a problemas de movimento. William Heytesbury (1335) encontrou métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo supostamente sob acerelação constante (atualmente, os mesmos resultados são obtidos encontrando duas integrais indefinidas e antiderivadas).

À medida que europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para esse problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora ele não tenha explicado seus princípios matemáticos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright que também providenciou uma tabela que mostrava que as distancias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec. f D f), onde f é a latitude; isto é, aproximadamente a integral de sec. f.

Pierre Fermet (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das “parábolas de ordem superior” (y=kxn, onde k> o é constante e n=2, 3, 4, ...) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y=kxn com valores de n negativos. Mas não conseguiu aplicar estes processos para “hipérboles de ordem superior”, ym=kxn.

Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.

Os avanços no calculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos métodos de exaustão e compressão para efetuar cálculos de áreas delimitadas por curvas.

Passo 2

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Figura 1.

Figura 2.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

Resposta:

S1=021x=lnx02→ln2-ln0=0,6931 u.a

Figura 2

S24=044x=4.lnx04→4.ln4-4.ln0=5,5452 u.a

S2=4.5,5452=22,1808 u.a

Podemos afirmar que:

(c). (I) é verdadeira e (II) é falsa

Passo 3

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Resposta:

Resposta certa é a letra C:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Etapa 4

Passo 2 (Equipe)

Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo do volume de um sólido de revolução, usando a teoria de integrais para