Atps Calculo 3

Faculdade Anhanguera

Engenharia de Controle e Automação

3 sem. / 4 sem.

Atps Calculo III

Sumaré

2013

Calculo III

Monografia apresentada como exigência para obtenção do grau de Bacharelado em Engenharia de controle e Automação da Faculdade Anhanguera .

2013

RESUMO

Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da historia do Calculo Integral, identificando seus precursores, sua evolução e relação com o avanço tecnológico, bem como mostrar as aplicações do Calculo Integral nas diversas áreas do conhecimento. Destacamos a importância de conhecer a aplicabilidade do Calculo Integral para entender os seus conceitos e assim poder contribuir para despertar a motivação por parte dos acadêmicos para o estudo desta temática. O Calculo Integral e ensinado nos cursos de graduação de diversas áreas, como na Matemática, na Física, nas Engenharias, entre outras. São tantas definições, teoremas, e diversas maneiras de resolver esses cálculos, que dependendo da forma metodológica como eles são abordados, podem gerar questionamentos quanto a sua aplicabilidade. Assim, o objetivo deste trabalho e identificar algumas destas aplicações nas diferentes áreas do conhecimento, seguido da resolução das mesmas.

ABSTRACT

Our research is based on describing the story of the Integral Calculus, identifying its precursors, its evolution and relationship with the technological advancement, as well as show the applications of the Integral Calculus in the various areas of knowledge. We emphasize the importance of knowing the applicability of Integral Calculus to understand their concepts and thus to contribute to raise motivation among students to study this topic. The Integral Calculus and taught in undergraduate courses in various areas, such as mathematics, physics, in Engineering, among others. Are many definitions, theorems, and several ways to solve these calculations, which depending on how they are addressed methodological, can generate questions as to their applicability. The objective of this work and identify some of these applications in different areas of knowledge, followed by resolution of the same.

SUMÁRIO

1 HISTÓRIA DA INTEGRAL 5

2 PASSO 2 - DESAFIOS A,B,C E D. 7

3 PASSO 3 9

4 PASSO 4 - RELATÓRIO 1 11

5 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO, INTEGRAÇÃO POR PARTES 12

6 PASSO 2 13

7 PASSO 3 E 4 15

8 REFERENCIAS 16

1 HISTÓRIA DA INTEGRAL

Etapa 1

Integrais

O calculo integral se originou com problemas de quadratura e curvatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Em um problema de curvatura a integral é usada para determinar o valor exato de um solido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

Entre os diversos nomes que, de certa forma, moldaram a integral como a conhecemos hoje, pode-se citar: Hipócrates de Chios (aprox. 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas e encontrou a áreas de certas lúnulas (região parecida com a lua próxima de seu quarto crescente). Antiphon (cerca de 430 A.C.) que alegou poder encontrar a área de um circulo com uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos, com cada vez mais lados, mas como sua quadratura exigia infinitos polígonos nunca poderia ser terminada sem o conceito moderno de limite. Ele deu origem ao método de exaustão. Arquimedes (287 – 212 A.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola, aproximando sua área com um grande número de triângulos.

Durante o período medieval no Ocidente as ideias de calculo foram aplicadas a problemas de movimento. William Heytesbury (1335) encontrou métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo supostamente sob aceleração constante (atualmente, os mesmos resultados são obtidos encontrando duas integrais indefinidas e antiderivadas).

À medida que europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para esse problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora ele não tenha explicado seus princípios matemáticos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright que também providenciou uma tabela que mostrava que as distancias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec f D f), onde f é a latitude; isto é, aproximadamente a integral de sec f.

Pierre Fermet (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das “parábolas de ordem superior” (y=kxn, onde k>o é constante e n=2, 3, 4, ...) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y=kxn com valores de n negativos. Mas não conseguiu aplicar estes processos para “hipérboles de ordem superior”, ym=kxn.

Isaac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar