Atps Calculo 3

Etapa 3

Passo 1 – Pesquisa

Calculando áreas

Consideremos o caso da função:

Os valores do seno entre e são positivos e entre e são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são identicas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e é nula! Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intevalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo.

Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo .

No caso da função acima, teremos:

Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular.

Passo 2

Passo 3

C) 8

Passo 4

A nova sequencia : 301948

Etapa 4

Passo 1 – Pesquisa

Agora podemos definir um sólido "oco", ou seja, para que um sólido tenha uma abertura devemos delimitar uma face externa e outra interna, o que nos pede que tenhamos uma curva para cada face.

Para a determinação das duas faces considere as duas funções e sendo que, para determinar o sólido de forma regular, estabelecemos o seguinte conjunto de regras:

1.

2.

3.

Observemos a ilustração a seguir:

"Plano dos eixos"

Consideremos um corte que nos permita observar uma fatia do sólido, como podemos ver o retângulo que tomamos no centro do desenho representa uma fatia de um disco "oco".

Agora podemos encontrar o volume ocupado pelo sólido, no espaço delimitado pelas duas funções, considerando que as duas sofrem rotação, mantendo o eixo como base de rotação, conforme fizemos no caso do tópico anterior com uma função, a única diferença é que temos um volume que deverá ser subtraido do outro.

Segundo o mesmo raciocínio da análise anterior, verificamos que o volume de um disco de seção do sólido no intervalo pode ser determinada como seque:

Inevitavelmente vemos a correspondência entre os dois casos, simplesmente há uma subtração de volumes, que veremos refletida no resultado final... Prosseguindo, façamos a somatória dos valores das seções dentro do intervalo quando as parcelas diminuem infinitesimalmente:

Finalmente encontramos o volume:

ou

Passo 2

Y=f(x)=4 =

Passo 3

Desafio (A) errado, portanto o nº será 9

Desafio (B) letra A, portanto o nº será 8

Conclusão do desafio

Referente as respostas obtidas em todos os desafios desenvolvidos, podemos concluir que a quantidade total de barris produzidos mensalmente pela empresa pretrofulls é de 30194898.

Cálculos:

Desafio B

y

f

dx

f-c

g-c g

C y=c

C x

0 a b

dx

f

f-c

g-c y=c

f

g C

g

x

dV = Π . [f-c]2. dx – Π . [g-c]2 .dx

V = Π . ∫ab [(f -c)2 - ( g-c)2 . dx

V = Π . ∫ab [(f2- 2fc +c2) - (g2 – 2gc + c2)] . dx

V = Π . ∫ab[f2 – 2c . (f – g) – g2] . dx

V = Π∫0Π/2 [sen2x - 4(sen x – sen3x) – sen6 x] . dx

V = Π[∫0Π/2 sen2x . dx - 4∫0Π/2 sen x . dx + 4∫0Π/2 sen3. dx - ∫0Π/2 sen6x . dx]

∫0Π/2 sen2 . dx = (x/2 – sen 2x/4)|0Π/2 = (Π/4 – senΠ/4) - (0 – sen 0/4) = Π/4

∫0Π/2 sen x . dx = (-cos x) |0Π/2 = -(cosΠ/2 – cos 0) = 1

∫0Π/2 sen3x . dx = (-cos x + cos3Π/2/3) |0Π/2 = (-cosΠ/2 + cos3Π/2/3) - (cos 0 + cos30/3) = 1-1/3 = 2/3

∫0Π/2sen6x . dx = (-1/6 sen5x.cos x – 5/24 sen3x cos x – 15/48 sen x . cos x + 15/48x)|cd

=[-1/6sen5(Π/2).cos(Π/2) - 5/24 sen3(Π/2).cos(Π/2) – 15/48 sen(Π/2).cos(Π/2) +15/48. Π/2]-[0] = 15Π/96

V = Π. [ Π/4 – 4 + 8/3 - 15Π/96] = Π.(24Π – 384 + 256 - 15Π )/ 96

V = Π. (9Π - 128)/96 = Π. (9Π/96 – 128/96) = Π.(3Π/32 – 4/3)

V = 3Π2/32 - 4Π/3 = 3,26 uv

Etapa 4: Área de uma superfície de revolução.

Rotação em torno do eixo dos x

y

y = f(x)

A x

0 a b

A= 2Π. ∫ab f(x) . √1+[f’(x)]2. dx

Rotação em torno do eixo dos y.

x = g(y) , y E[c,d]

A= 2Π. ∫cd g(y) . √1+[g’(y)]2. dy

Ex. 1

R: y = √x ; 1≤ x ≤ 4 ; eixo x

y

2

1 A

0 1 4 4 x

y =x1/2 y1 = 1/2x-1/2 = 1/2√x

A = 2Π∫14 √x . √1 +1/4 . dx

A = 2Π∫14 √x . √4x+1/4x . dx

A = 2Π∫14 √x . √4x+1/2√x . dx

A = Π∫14√4x+1 . dx

u = 4x+1

du = 4dx dx = du/4

∫√4x+1 . dx = ∫√u . du/4 = 1/4∫u1/2du =1/4 . u3/2/3/2 = 1/6√(4x+1)3

A = Π . 1/6 . (√4x+1)|14

A = Π/6.(√17-√5) u.a

Ex.2

R: y = 3√x ; 0≤ x ≤ 1 ; eixo y

y3 = x ou x = y3 = g(y) ; 0≤ x ≤ 1

g’(y) = 3y2

y

1

A

0 0 1 x

A = 2Π∫01y3 . √1+(3y2)2 dy

A = 2Π∫01y3 . √1+9y4 dy

∫ y3. √1+9y4 dy

u = 1+9y4

du = 36 y3. dy y3 dy = du/36

1/36∫√u du = 1/36.u3/2/3/2 = 1/54.√(1+9y4)3

A = Π/27(√(1+9y4)3|01 = Π/27(√103-1)

A = Π/27(10√10-1) u.a