Atps Calculo 3

Etapa 1 - Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Passos:

Passo 1:

Foi lido o capitulo do livro texto que descreve os conceitos de integrais definidas, indefinidas e cálculos de área, e com base nisso, gerado o seguinte relatório.

A história e o surgimento das integrais

O Cálculo Integral pode ser definido como o estudo das ideias, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados: asintegrais indefinidas e as integrais definidas e foi criado por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), com o intuito de tornar-se uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas, a partir da Álgebra e da Geometria. Newton criou o Teorema do Binômio que proporcionou uma nova e eficaz maneira de calcular logaritmos, também descoberta de grande representatividade.

Nesse mesmo ano, Newton teve um insight enquanto observava o movimento de um planeta. Percebeu que os planetas se movem de modo que em cada ponto a direção da velocidade é a mesma que a da reta tangente à trajetória naquele ponto. Assim, várias pequenas tangentes poderiam localmente descrever o movimento dos planetas. Dessa forma, a descoberta seguinte seria consequência das tangentes e Newton a batizou de fluxões, conhecida por nos, nos dias de hoje como o Cálculo Diferencial.

Essa nova técnica era revolucionária, e fez Newton perceber logo em seguida que a integração de uma função era simplesmente a operação inversa da diferenciação. Dessa forma, nasceu o Cálculo Integral.

Hoje utilizamos muito esse método, que consiste no processo de encontrar o valor ou calcular a razão de uma função, que chamamos de integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

As integrais possuem três classificações: integrais indefinidas, integrais definidas e integrais impróprias:

Integral indefinida - é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F.

Integral definida - a definida, é inicialmente descrita como Soma de Riemann, e estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Integrais improprias – essa é uma vertente da definida, e acontece quando o intervalor que define é infinito. Ela e muito comum em várias áreas das Ciências Exatas, como na Teoria Cinética dos Gases, no estudo de forças entre partículas quando a distância tende a infinito, quando uma variável espacial procura cobrir todo seu campo de definição.

Concluímos que, diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, e já segundo outras não podem, mas o objetivo final é sempre o mesmo, obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.

Passo 2 – Resolução dos desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

∫(a³/3 + 3/a³+3/a)da?

∫▒a^3/3+3/a^3 +3/a da

∫▒〖a^3/3 da〗+∫▒3/a^3 da+∫▒3/a da

∫▒a^4/3.4 da+3∫▒1/a^3 da+3∫▒1/a da

∫▒a^4/12+3∫▒a^(-2)/(-2)+3∫▒a^0

a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡|a|+c

Alternativa B.

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C′(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C )0( = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

(a) 2 C(q) =10.000 + .1 000q + 25q

(b) 2 C(q) =10.000 + 25q + .1 000q

(c) 2 C(q) =10.000q

(d) 2 C(q) =10.000 + 25q

(e) 2 3 C(q) =10.000q + q + q

Resolução:

C’(q)