Atps Calculo 3

Etapa 1

Cálculo Integral – Passo 1

O desenvolvimento matemático da antiguidade levou-nos à pesquisa de novos meios de responder questões de interesse para o desenvolvimento humano, dentre elas, como primordial, tentar responder a área de planos para o desenvolvimento da agricultura, e até mesmo, da engenharia antiga, dados estes exemplos para o extenso estudo de maneiras de resolver problemas matemáticos de natureza específica.

Assim, do desenvolvimento matemático continuo através dos séculos seguintes, em especial na idade moderna, e com o surgimento da matemática aplicada, foi com Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que problemas antes sem solução exata e de cálculos extensivos foram respondidos em trabalhos iguais, mas independentes, pelos dois matemáticos, que dissertaram à respeito do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Os conceitos apresentados pela nova ferramenta de fazer matemática mostraram-se uteis nos diversos campos de estudos, tanto para o estudo das matérias exatas, tanta para o desenvolvimento das matérias humanas e biológicas, sendo importante notar o impacto direto do desenvolvimentos destas duas últimas na sociedade.

No desenvolvimento da sociedade contemporânea o cálculo assumiu caráter rigoroso, tornando-se de grande importância para com o desenvolvimento técnico-científico atual. Neste período fomos capazes de expandir as ideias do cálculo integral para o espaço euclidiano, que é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno, e para o plano complexo.

Assim, da compreensão da capacidade de resolver problemas, a determinação de uma nova ferramenta mostrou-se o meio definitivo para o encontro de soluções, mostrando os meios e técnicas de cálculo para os vários problemas matemáticos das mais diversas áreas do conhecimento.

Desafios de Integração – Passo 2 e 3

Agora, da proposta do Passo 2 e 3 deste trabalho, devemos solucionar alguns desafios que envolvem integrais e, após isso, associar números dados pelo desafio às respostas, onde obteremos uma sequência numérica específica.

Desafio A

Neste desafio devemos encontrar a solução da integral ∫▒(a³/3+3/a³+3/a) , respondendo, após resolvida, qual das alternativas é a respostas. Sendo elas:

F(a)=12a^4-(3a^(-2))/2+ln⁡〖|3a|+C〗

F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=a^4/12-2/(3a^2 )-3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=12a^4+3/(2a^(-2) )+ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=a^4+3/(2a^2 )+3ln⁡〖|a|+C〗

Então, resolvendo ∫▒(a³/3+3/a³+3/a)∂a,

∫▒〖a³/3 ∂a+∫▒〖3/a³ ∂a+∫▒3/a〗〗 ∂a

a^4/3.4+(3a^(-2))/(-2)+3ln⁡〖|a|+C〗

a^4/12-3/(2a^2 )+3ln⁡〖|a|+C〗

Assim, encontramos que a solução da integral é F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3ln⁡〖|a|+C〗, ou seja, a solução apresentada pela alternativa b, e assim, pelo proposto no Passo, deve-se ser associado o número 3 para a alternativa b.

Desafio B

Aqui compreendemos um cálculo de relação utilizado pela indústria do petróleo, supondo valores de perfuração por pés qperfurados e o valor inicial para tal perfuração, sendo C^' (q)=1000+50q e C(0)=10000, respectivamente, e assim, a representação do custo total para a perfuração de q pés pode ser dada entre uma das soluções.

C(q)=10000+1000q+25q²

C(q)=10000+25q+1000q²

C(q)=10000q²

C(q)=10000+25q²

C(q)=10000+q²+q³

TomandoC^' (q)=1000+50q como o integrando, temos:

∫▒〖(1000+50q)∂q〗

∫▒〖(1000)∂q+∫▒〖(50q)∂q〗〗

1000q+50q²/2+C

C(q)=1000q+25q^2+C

Agora, estabelecendo que a constante de integração seja o valor corresponde quando o valor para q na atual função é 0, ou seja, C(0)=1000.(0)+25(0)^2+C, C(0)=C, por ser independente do valor de q, e tomando o que foi dado no enunciado do desafio para C(0), podemos atribuir o valor C=1000 na equação.

C(q)=1000q+25q^2+10000

Assim temos que a alternativa que mostra a solução correta para o problema é a alternativa a, então, associamos o número 0 à resposta.

Desafio C

Neste desafio esclarecemos o crescimento exponencial do consumo C(t) de petróleo para a última década do século XX, onde t é o número de anos contados após o início de 1990. Para tal taxa de consumo obtemos um modelo matemático aproximado, C(t)=16,1.e^0,07t. Assim, devemos analisar a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994, comparando com uma das soluções alternativas abaixo.

56,43 bilhões de barris de petróleo

48,78 bilhões de barris de petróleo

39,76 bilhões de barris de petróleo

26,54 bilhões de barris de petróleo

Nenhuma das alternativas

Para resolvermos, tomamos a quantidade de petróleo consumida entre os anos de 1992 e 1994 como o limite da integração do consumo ∫▒〖(16,1.e^0,07t)∂t〗, onde obtemos uma integral definida do tipo ∫_1992^1994▒〖(16,1.e^0,07t)∂t〗, e como o número de anos é contado a partir do início de 1990 temos ∫_2^4▒〖(16,1〖.e〗^0,07t)∂t〗. Resolvendo-a:

∫_2^4▒〖(16,1.e^0,07t)∂t〗

16,1.∫_2^4▒〖e^0,07t ∂t〗

Assim, pelo método da substituição, tomamos 0,07t comou, e agora ∂u=0,07∂t, então ∂t=∂u/0,07, onde utilizamos na equação.

16,1.∫_2^4▒〖e^u