Atps Calculo

Etapa 2 / Passo 2

Seção 3.2 do PLT, pesquise e enuncie a derivada da função exponencial e da função logarítmica. Dê 2 exemplos de cada.

Resposta:

Função exponencial

A função exponencial mais simples é a função . Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função é e a imagem é o conjunto .

O eixo horizontal é uma assíntota do gráfico da função. O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função exponencial geral, quando comparado ao gráfico de , a partir das transformações sofridas por esta função.

De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta x = 0.

Consideremos uma função exponencial cuja expressão é dada por , onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao gráfico da função inicial ?

Vejamos qual o papel desempenhado por uma constante b, não nula, na função exponencial da forma , quando a comparamos à função mais simples .

Se b=0, temos a função constante y=1, que não interessa nesta situação. Ainda podemos pensar numa função exponencial que seja dada pela expressão , onde a é uma constante real,

a 0

Observe que se a=0, a função obtida não será exponencial, pois será a constante real nula.

Função logarítmica

As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ? 1, sendo f : R*+ ?

Exemplos:

f(x) = log2x

f(x) = log5(x – 2)

f(x) = log(a – 2)4

f(x) = log0,5x

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:

Crescente: base maior que 1.

Decrescente: base maior que zero e menor que 1.

Função crescente

Etapa 2 / Passo 4

Faça a leitura do capítulo 3 — seção 3.3 do PLI’ e enuncie a regra do produto e a regra do quociente. Dê 2 exemplos cada.

Resposta:

Regra do produto

y = (x³ + 2) (x² - 3)

y´= (3x²).(x² - 3) + (x³ + 2).(2x)

y´= 〖3x〗^4 – 9x² + 2x^4 + 4x

y´= 〖5x〗^4 – 9x² + 4x

y = x².cos x

y´= (2x).(cos x) + (x²).(- sen x)

y´= (2 cos x - x² sen x)

y´= x (2 cos x - x sen x)

Regra do quociente.

A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual ao produto do denominador pela derivada do numerador, menos o produto do numerador pela derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador

Ex .: então

A regra da cadeia

Afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como:

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia éNa integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos

Exemplo 1: Considere f(x) = (x2 + 1)3. Temos que f(x) = h(g(x)) onde g(x) = x2 + 1 e h(x) = x3. Então,

Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

pode ser escrita como f(x) = h(g(x)) com h(x) = sin x e g(x) = x2. A regra da cadeia afirma que

desde que h'(g(x)) = cos(x2) e g'(x) = 2x.

Exemplo 3 : Seja uma função . Note que esta função é na verdade o produto de duas funções, que podemos chamar de f e g, sendo f(x)=x e . Para derivar h(x), utilizamos a regra do produto:

Substituindo f(x) por x, g(x) por e , a derivada de g(x) por (pois a derivada de é ) e a derivada de f(x) por 1, teremos:

Exemplo 4 : Em matemática, a regra do quociente, rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

ou, segundo a notação de Leibniz:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

Livro PLT Matemática Aplicada 1, Hughes-Hallett, Gleason, McCallum ET AL cap.1,seções 1.1 ,1.2 , 1.3 , 1.4

http://www.mundoeducacao.com.br

http://www.tutorbrasil.com.br

http://www.brasilescola.com/matematica

ecalculo.if.usp.br/funcoes/exponencial/fexponencial.htm

projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Exponencial.htma

Demonstração da Derivada da Função Logarítmica

Seja a Função Logarítmica do logaritmo natural:

f (x) = ln (x)

Utilizando o conceito de derivada, temos:

Utilizando uma das propriedades dos logaritmos, que uma diferença de logaritmo é igual a o logaritmo de um quociente, temos:

Utilizando, agora, a propriedade dos expoente dos logaritmos, fazemos:

Se aplicarmos uma mudança de variável, onde: