Atps De Calculo

Introdução.

Todo cálculo de uma derivada proporciona, devido ao segundo teorema fundamental do cálculo infinitesimal [23], uma fórmula para integrais. Por exemplo, se f (x) = x(Lnx − 1), então f (x) = Lnx. O conceito intuitivo de integrar corresponde a os seguintes significados:

• Dada uma função y = f (x) definida num intervalo A, determinar uma função F (x) de modo que a derivada de F (x) seja a função f (x); isto é F (x) = f (x) ∀ x ∈ A.

• Dada uma função y = f (x) definida num intervalo A, calcular o limite das somas de determinado tipo, construídas para f (x) no intervalo A. A operação em qualquer dos casos chama-se integração. No sentido matemático o segundo caso é amplamente ilustrado para o cálculo de áreas limitadas por curvas, volume do sólidos, comprimento de curva, trabalho de uma força e outras múltiplas aplicações. Os dois tipos de integração são chamadas de integral indefinida e integral definida respectivamente.

Etapa 02

Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Conceito de integrais

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Devido à necessidade de exercício dessas técnicas complexa, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste trabalho: trazer os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

Que após a antidiferencial se torna:

E, portanto:

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:

Se ,

Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.

Exemplo 1 - Caso do logaritmo

Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:

Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:

depois:

Aplicando à fórmula de integração por partes:

Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:

Sendo C a constante de antidiferenciação.

Exemplo 2 - Caso do arcseno

Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:

Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:

Assim:

Aplicando à fórmula da integração por partes:

agora consideremos o seguinte:

logo:

Portanto: