Atps De Calculo

ETAPA 01

Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

O conceito de velocidade está intimamente ligado à variação da posição. Se a posição de um objeto muda com o tempo, ele está animado de velocidade. Se ele está em repouso, sua velocidade é nula.

Digamos que, no tempo t1, a partícula estava em x1 e que, no instante t2, ele está em x2. Admitiremos t2 > t1.

Assim, no intervalo de tempos t1 dado por,

houve uma variação da posição, , dada por

.

Definimos então a velocidade escalar média como a razão entre a variação da coordenada e o intervalo de tempo decorrido:

.

Observe-se que a velocidade escalar média sempre faz referência a dois instantes de tempo (por isso, falamos em média). No entanto, a velocidade na qual temos maior interesse é a velocidade num determinado instante de tempo. Tal velocidade é denominada velocidade instantânea.

Para definirmos a velocidade instantânea, devemos recorrer a um conceito matemático conhecido como limite.

Observemos que a velocidade média é definida tomando-se dois instantes de tempo. Para defini-la num determinado instante, basta tomarmos intervalos de tempo cada vez menores. Dessa forma estamos assegurando que, cada vez mais, não exista diferença entre t2 e t1. Portanto, estaremos falando, ao tomarmos o limite no qual tende a zero, de um só instante de tempo.

Definimos, portanto, a velocidade instantânea no instante t1 através do processo limite:

.

O processo limite definido acima tem o nome de derivada da função x(t) com respeito ao tempo e se representa:

Na física, o conceito de velocidade média ou velocidade escalar média é diferente do conceito de velocidade instantânea. A velocidade média esta ligada a um intervalo de tempo ∆t enquanto a velocidade instantânea a um instante de tempo t.

Para entender melhor esta diferença vamos estudar o exemplo de um movimento uniformemente variado. Um carro parte do repouso (velocidade inicial zero) e percorre 100m em 10s. Qual a velocidade média deste móvel nos 10s de movimento?

Sabemos que a variação de espaço do móvel foi de 100m e a variação de tempo do móvel foi de 10s, logo, a velocidade média é dada por:

Vm = ∆S/∆t

Vm = 100m / 10s

Vm = 10m/s

A velocidade média do móvel foi de 10m/s. Isto não significa que ele estava sempre com velocidade 10m/s, já que parte do repouso (velocidade inicial zero) e ao longo do percurso aumenta sua velocidade.

Para saber a velocidade instantânea do móvel no instante 6 s, sabendo que a aceleração do mesmo é de 2m/s2, devemos utilizar a equação abaixo:

V = V0 + a.t

Substituindo os valores fornecidos, temos:

V = V0 + a.t

V = 0 + 2 . 6

V = 12 m/s

Logo, a velocidade do móvel no instante 6s é igual a 12m/s e está pode ser chamada de velocidade instantânea já que se refere ao instante 6s.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesmo logica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Exemplo: x = 8t² - 2t no tempo em 1 segundo.

v= dxdt 8,5t2-2t

Derivando posição em relação ao tempo: v=8,5.2t2-1-2.1t1-1 → v= 17t-2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo: v= 17.1-2 → v=15 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2 → a= 17.1t1-1 → a=17

A aceleração não varia em nenhum instante.

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

| S(m) | S(m) x t(s) | V(m/s) x t(s) |

TEMPO | X=8,5t²-2t | dxdt=17t-2 | dvdt=17

0 | 0 m | -2 m/s | 17 m/s² |

1 | 6,5 m | 15 m/s | 17 m/s² |

2 | 30 m | 32 m/s | 17 m/s² |

3 | 70,5 m | 49 m/s | 17 m/s² |

4 | 128 m | 66 m/s | 17 m/s² |

5 | 202,5 m| 83 m/s | 17 m/s² |

Gráfico S(m) X t(s)

Gráfico S(m) X t(s)

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a= dvdt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t)