Atps De Calculo 3

Atividades Práticas

Supervisionadas

Engenharia de Controle e Automação

Cálculo III

Introdução:

A atividade prática supervisionada (ATPS) é um método de ensino e aprendizagem desenvolvido por meio de um conjunto de atividades programadas e supervisionadas e que tem por objetivos: favorecer a aprendizagem, estimular a responsabilidade do aluno pelo aprendizado eficiente e eficaz, promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo, desenvolver os estudos independentes, sistemáticos e o auto - aprendizado, oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem. Participar ativamente deste desafio é essencial para o desenvolvimento das competências e habilidades requeridas na sua atuação no mercado de trabalho.

Resoluções.:

Etapa 1: Aula tema: Integral Definida. Integral Indefinida

Passo 1 – História da Integral

História: a história do cálculo encaixa-se em vários períodos distintos, de forma notável nas eras antiga, medieval e moderna.

Antiguidade: na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática.

A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um frustum iramidal. Eudoxus (408-355 a.C.) usou o método da exaustão para calcular áreas e volumes.

Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi redescoberto na China por Liu Hui no século III, que o usou para encontrar a área do círculo.

O método também foi usado por Zu Chongzhi século V, para achar o volume de uma esfera.

Idade Média: na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica.

Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle".

No século XII, o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV,Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

Idade Moderna: na Idade Moderna, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa, que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações.

O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregoryproveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo. A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton; hoje, porém, é considerado o inventor do cálculo, juntamente com Newton.

Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje, anotação de Leibniz. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e, portanto que país: Inglaterraou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou ideias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real.

Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação.

Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos"

.Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. Idade contemporânea: na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo.

Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann,Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral 1 . É dela também a autoria da chamada "curva de Agnesi".

Integrais: o Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.).

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b). Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região escura.

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo x.

Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base?x e altura h dá a distância (tempo? x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela, f(x)=h.

A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará mais retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em?x tender a zero.

O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma: Desde que a derivada da função y = x² + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

1.2 Segundo Passo

Desafio A:

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: (a3 3+3 a3 + 3 a) da?

Resolução:

(a33+3a3+3a)=

=a3+13.(3+1) + 3a-3+1-3+1 + 3lna+c= a412 - 32a2 + 3lna+c.

Portanto a alternativa que representa a integral indefinida é a letra B. (Associa-se ao nº 3).

Desafio B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pé é:

Resolução:

C’ (q) = 1000+50qC (0) = 10000(1000+50q) dq = 1000q + 50q22 + cC(q) = 10000 + 1000q . 25q2

Alternativa correta é a letra A (associa-se ao nº0).

Desafio C:

No nicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Resolução:

O intervalo da integral será de 2 a 4. Pois, a taxa de consumo será dada pela integral de interesse e o tempo é dado a partir de 1550.

16,1 .e 0,07 tdt = e 0,07 tdtu = 0,07du = 0,07 dtdu 0,07 = dt 16,1 e 4. Du 0,07= 16,10,07 e 4. Du 230 . e4 + c = 230 . e 0,07t + c24230 e 0,07t+ c |42 = 230 e (0,07x4) - 230 e (0,07x2) = 304,319 – 264,562 = 39,76.

Alternativa correta é a letra C (associa-se ao n. 1)

Desafio D:

A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por:

Resolução:

ex2 dx u = x2 du = 12 . dx dx = 2 du ex2 du = e4 2 dx e4 2 du = 2 e4 du 2 . e4 |23 = 2 . ex2 |2-3 2-32ex2+ c = 2e22 - 2e-32 (Fb – Fa) = (5,436) – (0,446) = 4,55.

Alternativa correta é a letra A (associa-se ao n. 9)

1.3 Terceiro Passo

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for à alternativa (a).

Associem o número 3, se a resposta correta for à alternativa (b).

Associem o número 5, se a resposta correta for à alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for à alternativa (d).

Associem o número 7, se a resposta correta for à alternativa (e).

Para o desafio B:

Associem o número 0, se a resposta correta for à alternativa (a).

Associem o número 8, se a resposta correta for à alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for à alternativa (c).

Associem o número 1, se a resposta correta for à alternativa (d).

Associem o número 6, se a resposta correta for à alternativa (e).

Para o desafio C:

Associem o número 5, se a resposta correta for à alternativa (a).

Associem o número 6, se a resposta correta for à alternativa (b).

Associem o número 1, se a resposta correta for à alternativa (c).

Associem o número 9, se a resposta correta for à alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for à alternativa (e).

Para o desafio D:

Associem o número 9, se a resposta correta for à alternativa (a).

Associem o número 8, se a resposta correta for à alternativa (b).

Associem o número 0, se a resposta correta for à alternativa (c).

Associem o número 4, se a resposta correta for à alternativa (d).

Associem o número 2, se a resposta correta for à alternativa (e).

1.4 Quarto Passo

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

O objetivo da ATPS é encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrobras, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto. Para isso, é necessário associar cada resultado obtido no passo 2 a um numero, de acordo com a alternativa correta encontrada para cada desafio.

Desse modo encontramos as seguintes associações.

Desafio A: Alternativa (b), que associa-se ao nº 3

Desafio B: Alternativa (a), que associa-se ao nº 0

Desafio C: Alternativa (c), que associa-se ao nº 1

Desafio D: Alternativa (a), que associa-se ao nº 9

Portanto a sequencia encontrada foi 3019.

ETAPA 2 1.5

Primeiro Passo 1.6.1

Integração por Partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte, onde e são funções de classe C1no intervalo, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e bA fórmula canônica é dada pela seguinte expressão: ou, ainda, de forma mais enxuta:

1.1.1 Integração por substituição

Considere a seguinte integral: A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis, onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo: Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

1.6 Segundo Passo

Considerem as seguintes igualdades:

I) 3-t.(t2-6t)4dt=-(t2-6t)510+C

Resolução:

3-t.(t2-6t)4dt u=t2-6t du=2t-6t=du2-dt * u4du2= 12 u4du* 12u4+C=u5+C10= (t2-6t)5+C10

II)05tt+4 dt-4,67

Resolução:

1t+4t dt=1t+1 . t2- t2 . dt2t+4 3 t dtt+4=t22t+4+ 14 t2 dtt+4 3 05t t+4dt => 23u2-4u2 . 2udu=223u2-4du= 2 . (u33 – 4u) │32= 2[(333-4.3)-( 233- 4.2)]= 2[ 9-12- 83 + 8]= 2 [ 5 - 83 ] = 2. 73 = 143

Alternativa correta e a A - O numero associado e o 4.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

1.7 Terceiro Passo

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for à alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for à alternativa (b).

Associem o número 3, se a resposta correta for à alternativa (c).

Associem o número 8, se a resposta correta for à alternativa (d).

1.8 Quarto Passo

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

1.9 Conclusão do Desafio

Referente às respostas obtidas com os desafios desenvolvidos, podemos concluir que a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém-descoberto e de 30194.

ETAPA 3

1.10 Primeiro Passo

Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores.

Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida, devemos considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos.

Sinais: da definição da integral de Riemann temos: Obviamente, pode ser estabelecido e pode ser tomado como positivo se fizermos, logo nos resta: Que é arbitrário, pois depende da função, o que nos leva a concluir que o sinal da função determina o sinal da integral, ou seja, embora o módulo da integral represente a área delimitada pela curva e o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração.

Calculando as áreas: consideremos o caso da função. Os valores do seno entre e são positivos e entre e são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são idênticas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e é nula!.

Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intervalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo.

Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo.

No caso da função acima, teremos: Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular. Na seção subsequente veremos como determinar a área delimitada por duas curvas.

1.11 Segundo Passo

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

01x dx= x22 entre [0,1] = 122- 022= 12 u .a

Parte 2

121xdx= ln(x) entre [1,2] = ln2-ln1=0,6931 u .a

Parte 3

02x4 dx= 0214 . x1= 14 02x=14 . x22= 228 entre [0,2] = 228 - 228 = 12 u . a12+ 0,6931- 12=0,6931 u .a

Parte 1

Parte I.A = A=x . y

Parte I.B y+4x

Parte I.A

Por se tratar de um retângulo a área pode ser calculada diretamente pela multiplicação da base pela altura.

A= x.y A=1.4 A=4u.A

Parte I.B

144x dx = 1441 . 1x=4 141x=4 ln(x) entre [1,4] = 4 . ln4 - 4 ln1 = 5,545 u.a

Parte 1

A = 4 + 5,545 A= 9,545 u.a

4 . 9,545 = 38,18 u.a

1.12 Terceiro Passo

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Por meio dos cálculos realizados, podemos afirmar que a alternativa correta é a letra (c). Portanto o numero que devemos associar é o n. 8.

1.13 Quarto Passo

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4 1.14

Primeiro Passo1.

1.2 Sólidos de Revolução

Algumas aplicações da engenharia em estática, considerando um corpo extenso, e com distribuição continua de massa, uniforme ou não é necessário determinar-se e momento de inércia, centroide tanto de placas como de sólidos.

Neste sentido é necessário o conhecimento de cálculo para determinação de volumes e áreas superficiais.

Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma área plana em torno de uma reta chamada eixo de rotação, contida no plano. O volume de sólido de revolução pode ser calculado por três métodos:

a) Método de disco

b) Método de arruela

c). Método de casca

Em seguida será apresentado cada um dos três métodos com respectivos exemplos.

1.1.3 Método do disco.

É útil quando o eixo de rotação é parte da fronteira da área De acordo com a figura abaixo. Inicialmente vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por: No gráfico acima, consideramos o eixo x como sendo eixo de revolução, podemos calcular o volume formado pelo retângulo indicado que:

Desta forma o elemento de volume é dado por dv é dado por dv=π[f(x)]²dx que corresponde a um disco cilíndrico em torno do eixo x. Para saber o volume do sólido, basta somar-se o volume de cada disco desde a até b, o que corresponde a integrar a expressão dv=π[f(x)]²dx.

O mesmo ocorre quando o eixo de revolução é y. O volume fica:

1.1.4 Método de Arruela

É útil no caso em que o eixo de revolução não faz parte da área plana observe a figura. Sabendo que f(x) , calcula-se a diferença entre o elemento de volume cilíndrico de cada uma das funções obtendo o elemento de volume da arruela e integrar-se:

Integrando:

Quando o eixo de revolução for y o caso é análogo

1.1.5 Método da Casca

Neste método define-se uma casca de espessura dx(ou dy) para revolução em torno do eixo y(ou x) determine o volume da casca e integra-se.

Observando a figura

Vamos determinar o volume da casca que definirá o sólido de revolução em torno do eixo y.

a) A casca possui espessura dx.

b) A casca possui altura y.

c) A casca possui raio x.

O elemento de volume dos sólidos dv ou o volume da casca cilíndrica é: o comprimento da curva vezes a espessura vezes altura da casca.

Integrando a função, obtêm-se:

Lembrando que a revolução é em torno do eixo y.

Analogamente, para revolução no eixo x.

Com estas definições podemos calcular o volume de qualquer sólido de revolução, desde que conheça a função e os limites de integração.

1.15 Segundo Passo

Considerem os seguintes desafios:

Desafio A:

Resolução:

A= 2π abF e1+[F'x]2dx 2π 1244x . 1+ 4x dx 2π 1444x . x+4x dx 8π 124x+4 dx 8π . (x+4)3232 |414 16π3 (832- (174)32 2π3 (128 2 - 17 17) u.a

Portanto a afirmação é correta e o nº associado é o 4.

Desafio B:

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y=2, da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , ( )3 y = sen x de x = 0 até 2 p x = ?

3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.

1.16 Terceiro Passo

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.

Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.

Associem o número 9, se a resposta estiver errada.

Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

1.17 Quarto Passo

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

CONCLUSÃO

Aprendemos com esse trabalho mais uma fase de aprendizado de Integral Definida/ Indefinida, Integração por Substituição/ Integração por Partes, Cálculo de Área/Volume de Sólido de Revolução, proporcionado assim á todos os envolvidos o aumento do conhecimento e fornecendo os requisitos básicos para a nossa próxima etapa de estudos.

BIBLIOGRAFIA

GUARDIN, R. Atividades Práticas Supervisionadas: Engenharia de Produção. Anhanguera, 2012. Integral. Disponível em: . Acesso em: 02 mai. 2013. http://profrogeriomat.blogspot.com.br/2009/10/o-surgimento-do-calculo-diferencial.html

http://www.ieps.org.br/gilsonmarieli.pdf, http://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_por_partes http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integra%C3%A7%C3%A3o

http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Aplica%C3%A7%C3%B5es_das_integrais

http://www.lapolli.pro.br/escolas/anhembi/calculo/teoria/5.Aplicacoes-VS.pdf