Calculo 2 . Derivadas

INDICE

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 1

Passo 1: Conceito de velocidade Instantânea

Passo 2: Os cálculos e gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)

Passo 3: Conceito de aceleração instantânea

Passo 4: Gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 2

Passo 1: O que é a Constante de Euller?

Passo 2: Séries harmônicas

Passo 3: Crescimento Populacional

Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas, Derivadas Trigonométricas, Aplicações de Derivadas

Etapa 3

Passo 1: Calcular qual será a altura máxima da lata e qual é o volume de óleo que ela comporta

Passo 3: Com que velocidade o nível do óleo estará se elevando quando atingir 20cm de altura?

Passo 4: Calcular qual é o volume máximo de óleo que cabe no bico? Qual é a velocidade com que o nível do óleo estará se elevando quando atingir 45 cm de altura?

Aula-tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da

Economia

Etapa 4

Passo 1: Construir uma tabela com base nas funções: Função Preço e a Função Custo em relação as quantidades

Passo 2: Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o Lucro será o máximo?

Passo 3: Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000 unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Bibliografia

Etapa 1

Passo 1

Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Velocidade Instantânea

É a rapidez com que o corpo em movimento passa por uma determinada posição em x, num determinado instante em t. É o valor para que tende a velocidade média do corpo quando ∆t.

v=lim┬(h→0)⁡v ((a+h)-s(a))/h

Daremos um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Para darmos o exemplo, utilizaremos as equações MRUV, Função horária da posição em função do tempo, e a Função horária da velocidade, depois aplicaremos à derivada.

Daremos os seguintes valores à equação:

a = 12 m/s2 (somatória do último algarismo que compõe o RA);

S0 = 0

V0 = 0

Função horária da posição em função do tempo:

S=Sο+Vοt+1/2 at^2

s=0+0t+1/2 .12 .t^2

s=1/2 .12 .t^2

s=12/2.t^2

s=6t^2

Função horária da velocidade:

v=vο+at

v=12t

Aplicando a derivada:

v=ds/(dt ) => d/dt

v=6t^2

v=6.2t^2 ⁻^1

v=12t

Passo 2

Tabela com intervalo 0 à 5s, utilizando as funções: t(s) x s(m) e t(s) x v(m):

Primeira tabela:

t(s) s(m) = 6t²

0 s(m) = 6.0² = 0

1 s(m) = 6.1² = 6

2 s(m) = 6.2² = 24

3 s(m) = 6.3² = 54

4 s(m) = 6.4² = 96

5 s(m) = 6.5² = 150

Segunda tabela:

t(s) v(m/s) = 12t

0 v(m/s) = 12.0 = 0

1 v(m/s) = 12.1 = 12

2 v(m/s) = 12.2 = 24

3 v(m/s) = 12.3 = 36

4 v(m/s) = 12.4 = 48

5 v(m/s) = 12.5 = 60

Gráficos:

Calculo da área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Área=b.h =>Área=5.60=150m^2

Passo3

Aceleração Média ou Instantânea

Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Quando a velocidade uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma aceleração. Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média a média em um intervalo de tempo ∆t é:

amédia=(v-vο)/(t-tο)=Δv/Δt

A aceleração instantânea é dada:

a=dv/dt

Em palavras, a aceleração de uma partícula em um dado instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante.

Se os termos velocidade e aceleração são usados sozinhos, supomos que sejam instantâneos. Como a velocidade é a derivada da posição, a aceleração