Derivadas - Calculo Pela Definição

Cálculo Diferencial e integral – VT / Parte I

1) Dada a função f(x) = 2-x3, calcule f ′ (-2)

Se x0 = -2 f(x0) = f(-2) = 2-(-23) = 10

f ′ (-2) = lim 2-x3-10 = -x3-8

x-2 x+2 x+2 -1 0 0 -8 -2

-1 2 -4 0 q = -x2+2x-4

r = 0

f ′ (-2) = lim = -x2+2x-4

x-2 1 1 2 -2

1 0 q = 1

r = 0

f ′ (-2) = lim = -(-2)2 + 2.(-2)-4 = -4-4-4 = -12

x-2 1 1

R: f ′ (-2) = -12

2) Usando a definição, calcule f ′ (x) para f(x)= -5x2

f(x0 + ∆x) = f(x + ∆x) = -5(x + ∆x)2 = -5(x2 + x2∆x +(∆x)2) = -5x2-5x2∆x-5(∆x)2

f(x0) = f(x) = -5.x2 = -5x2

f ′ (x0) = lim f(x0 + ∆x) - f(x0)  f ′ (x)= lim -5x2-5x2∆x -5(∆x)2 + 5x2

∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x

f ′ (x)= lim -5x2∆x -5(∆x)2

∆x 0 ∆x

f ′ (x)= lim ∆x (-5x -5x) f ′ (x)= lim -5x-5x = -10x

∆x 0 ∆x ∆x 0

f ′ (x) = -10x

3) Aplicando a definição, calcule f ′ (3) para f(x) = x2 +x

Se x0 = 3 f(x0) = f(3) = 32 + 3 = 12

f ′ (3) = lim = x2 + x - 12 1 1 -12 3 1 -3 3

x 3 x - 3 1 4 0 q = x +4 1 0 q= 1

r = 0 r = 0

f ′ (3) = lim = x + 4 = 3 + 4 = 7 = 7

x 3 1 1 1

R: f ′ (3) = 7

4) Dada a função f(x) = 2+x, determine f ′ (1)

3-x

Se x0 = 1 f(x0) = f(1) = 2+1 = 3

3-1 2

f ′ (1) = lim = 2+x - 3

x 1 3-x 2

x – 1