Calculo II - Derivadas

Razão Incremental

Introdução

Consideremos duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x) e que é definida e contínua num conjunto D.

Fixando um valor x_0 e fazendo x variar (aumentar ou diminuir) de ∆x (lê-se: delta x), teremos:

x=x_0+∆x□(⇒┬ ) ∆x=x-x_0

A esse valor ∆x=x-x_0 denominamos incremento da variável x

Se y = f(x) e x varia de ∆x, então, a função y = f(x) também variará (aumentará ou diminuirá) de ∆y (lê-se: delta y) e teremos:

f(x)=f(x_0 )+∆y□(⇐┬ )□(⇒┬ ) ∆y=f(x)-f(x_0)

A esse valor ∆y=f(x)-f(x_0), denominamos incremento da função y = f(x).

Exemplo:

Seja a função f(x) = 2x + 10

Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:

x_0=3, x=8□(⇒┬ ∆x=x-x_0=8-3=5)

f(x_0 )=f(3)=16,f(x)=f(8)=26□(⇒┬ ) ∆y=f(x)-f(x_0 )=26-16=10

Observação: Pelo exemplo dado, observamos, facilmente, que:

f(x)=f(x_0+∆x) □(⇒┬ ) ∆y=f(x_0+∆x)-f(x_0)

Definição de razão incremental

Denomina-se razão incremental da função y = f(x) relativa ao ponto x_0, a expressão ∆y/∆x

Assim, temos:

∆y/∆x=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 ) ou ∆y/∆x=(f(x_0+∆x)-f(x_0))/∆x

Exemplo:

Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto x_0=3.

Resolução:

∆y/∆x=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )

Como f(x) = 2x + 3, f(x_0 )=f(3)=2(3)+3=9, teremos: ∆y/∆x=(2x+3-9)/(x-3)=(2x-6)/(x-3)

Logo, ∆y/∆x=(2(x-3))/(x-3)=2

Atividades:

1) Calcule a razão incremental:

a) da função f(x)=x^2-1 relativa ao ponto x_0=2.

b) da função f(x)=x^2-2x+1 relativa ao ponto x_0=1.

Derivada num ponto

Denomina-se derivada de uma função y = f(x) no ponto x_0, que se indica por f^' (x_0 ), o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando ∆x□(→┬ ) 0.

Daí

f^' (x_0 )=derivada de f(x)no ponto x_0=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖∆y/∆x〗

Pode-se, então, escrever:

f^' (x_0 )=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖(f(x_0+∆x)-f(x_0))/∆x〗 ou f^' (x_0 )=lim┬(x□(→┬ )x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )〗

Observações:

- Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto x_0, dizemos que a função é derivável nesse ponto.

- A derivada em um ponto x_0, quando existe, é única.

- Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto x_0, tem por limite +∞ ou -∞, dizemos que a função y = f(x) não tem derivada nesse ponto.

Vejamos como determinar a derivada de uma função y = f(x) no ponto x_0, aplicando a definição.

1º exemplo:

Determinar a derivada de f(x)=3x^2 no ponto x = 5.

Resolução:

1ª maneira:

x_0=5 □(⇒┬ ) f(x_0 )=f(5)=3〖(5)〗^2=75

f^' (x_0 )=f^' (5)=lim┬(x□(→┬ )x_0 )⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )=lim┬(x□(→┬ ) 5)⁡〖(3x^2-75)/(x-5)=lim┬(x□(→┬ ) 5)⁡〖(3(x+5)(x-5))/(x-5)〗 〗 〗

f^' (5)=lim┬(x□(→┬ ) 5)⁡〖3(x+5)=30〗

Logo, f’(5) = 30.

2ª maneira:

f(x_0+∆x)=f(5+∆x)

f(x_0 )=75

f^' (x_0 )=f^' (5)=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖(3〖(5+∆x)〗^2-75)/∆x=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖(75+30∆x+3〖(∆x)〗^2-75)/∆x=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖(∆x(30+∆x))/∆x〗 〗 〗

f^' (5)=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖(30+∆x)=30〗

Logo, f’(5) = 30

2º exemplo:

Dado