Calculo E Derivada

A DERIVADA E SUAS APLICAÇÕES

Para iniciar o estudo de derivadas e suas aplicações, foi feita uma breve introdução

sobre derivada.

Definição: A derivada de uma função f é a função f ' definida pela fórmula:

h

f x h f x

f x h

( ) ( )

'( ) lim 0

= + - ->

Também chamada de derivada de f em relação a x , desde que o limite exista. O

domínio de f ' consiste de todo x para o qual o limite existe.

A derivada f ' também pode ser interpretada de duas maneiras:

· Como inclinação da Tangente: a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente

ao gráfico de y = f (x) , ou seja, o coeficiente angular da tangente ao gráfico de y = f (x)

no ponto (a, f (a)) é f '(a).

· Como Taxa de variação: a função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y

em relação a x no ponto x , ou seja, se y = f (x) , a taxa instantânea de variação de y em

relação a x é f '(x).

Outra maneira de apresentar intuitivamente o conceito de reta tangente é através do

limite de retas secantes.

Admita que uma curva tenha reta tangente em um ponto ( , ). 0 0 x y Considere uma reta

secante à curva passando por dois

pontos distintos sobre a curva:

( ) o x , y 0 e (x, y). A figura ao lado

mostra o esquema da secante

cortando a curva. A idéia é que

para (x, y) próximo de ( ) o x , y 0 a

reta secante esteja próxima da reta

tangente. A derivada é o

coeficiente angular da reta

tangente, quando esta existe e não

é vertical

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Matematicamente, a derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as

grandezas físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer

quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma função.

As aplicações da derivada são variadas, mas em todos os casos ela está sempre

relacionada a uma taxa de variação. Pensa-se na derivada como o coeficiente angular da reta

tangente, porém é importante lembrar que ela pode ser usado para indicar a taxa que o gráfico

apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações da derivada,

muitas estão ligados a ela como: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de

gasolina, poluição do ar, lucros e despesas de uma companhia, ou seja, qualquer quantidade

que possa ser representada por uma função. Tais problemas citados são chamados de

problemas de otimização.

Esses problemas de otimização podem ser reduzidos a determinar maior ou menor

valor de uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o tempo for

a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em descobrir a maneira mais

rápida de desempenhar curta tarefa (menor valor da função), ou caso o custo