Series Harmonicas

Segundo Garbi (2010, p. 252-255) “Euler fez uma célebre descoberta

envolvendo a série harmônica (dos inversos dos números naturais).”

Seja a série geométrica Se In I< 1, tal soma converge

para . Euler tomou n como o inverso de um primo qualquer e obteve

A série harmônica é provavelmente um das mais famosas séries em

matemática (Thomas, 2003, p. 35) e seu enésimo termo é dado por (1/n), onde n

compreende os números inteiros e positivos maiores ou iguais a um.

Segundo Ávila (1995 p. 55-56)

[...] a série harmônica, também a mais simples dentre as séries

divergentes com termo geral tendendo a zero. Aliás, para algum

aluno iniciante e inexperiente em séries infinitas é levado a crer

que a série

deva ser convergente, e não divergente. Afinal, os termos estão

decrescendo pra zero após uma soma muito grande deles,

contudo é necessário uma análise mais cuidadosa.

Existem algumas séries harmônicas especiais, por exemplo, a Série

Harmônica Alternada que é definida por:

De acordo com Thomas (2003, p. 34) “o teste da Integral pode ser usado

para resolver as questões de convergência de qualquer série com forma

), sendo p uma constante real. Tais séries são chamadas de p-séries. A p-série

com p=1 é a série harmônica.

O teste da p-série mostra que a série harmônica é divergente por um triz;

se aumentarmos p para 1, 000000001, por exemplo, a série converge. A lentidão

com a qual as somas parciais da série harmônica se aproximam do infinito é

muito impressionante.”

De acordo com ÁVILA (1995, p. 56)

O raciocínio usado nessa demonstração e ensinado nos cursos de

Cálculo consiste em agrupar os termos das séries, de forma que a

soma em cada grupo supere ½. Assim,

Em vista disso, concluímos que a série diverge.

Sabendo que a série diverge, procuramos usar essa propriedade em uma

de suas aplicações, como veremos na seção seguinte.