Calculo com integrais

Introdução

O presente trabalho é sobre o surgimento do cálculo e entnder algumas áreas especificas relacionadas as integrais.

Nosso objetivo é mostrar de que forma teórica e prática como surgiram e quais foram os personagens envolvidos no descobrimento de novas técnicas para resolução de problemas relacionados ao cálculo de áreas e volumes.

O trabalho está organizado em duas etapas nas quais serão mostrados o surgimento do cálculo, explicações teóricas de como resolver os problemas e exemplos práticos. A metodologia utilizada foi a pesquisa bobliográfica, enriquecida com algumas fontes extraídas da internet, além do nosso próprio conhecimento para a resolução dos desafio estabelecidos.

1. Relatório 3

1.1 Cálculo de área

Utilizando a integral definida para calcular a área entre duas curvas

A integral definida é utilizada para calcular a área entre uma curva – geralmente o gráfico de uma função – e o eixo x em um intervalo [a, b], mas ela também pode ser utilizada para calcular a área entre duas curvas que estejam no mesmo plano cartesiano.

Dadas duas funções, f(x) e g(x), ambas contínuas no intervalo [a, b], se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b (ou seja: o gráfico de f(x) está acima do de g(x)), a área da região limitada superiormente pelo gráfico de f(x), inferiormente por g(x) e lateralmente por a e b pode ser calculada através de A= ∫_a^b▒〖[f(x)- g(x) ] dx〗

Essa fórmula é válida para quaisquer que sejam as funções f(x) e g(x). Particularmente falando, se ambas estiverem acima do eixo x, basta ver que a fórmula representa a diferença da área entre a função superior e o eixo e da área entre a função inferior e o eixo – mas a fórmula é a mesma se uma função estiver acima e outra abaixo do eixo x ou as duas estiverem abaixo das abscissas.

É de fundamental importância que saibamos os valores de a e de b para que possamos calcular a integral definida. Em alguns problemas, esse valor poderá ser dado, mas, na maioria das vezes, apenas serão informadas as leis das funções. Como encontrar a e b neste caso? Lembre-se que, como f(x) ≥ g(x), f(x) está acima de g(x), o que significa que os gráficos poderão se interseccionar e será nessa(s) intersecção(ões) que encontraremos os limites laterais da nossa área de integração.

Para encontrar esses limites, devemos igualar f(x) e g(x). Se ambas as funções estiverem escritas em função da mesma variável, basta igualá-las. Por exemplo, para encontrarmos as intersecções de y = x2 e y = x + 6, tudo que temos a fazer é igualar as duas funções, obtendo x2 = x + 6, ou seja, x2 – x – 6 = 0 e resolver a equação, o que nos dará x = 2 e x = 3, que são os valores de a e de b que precisamos para resolver o problema. No entanto, pode acontecer de uma função estar em termos de y e outra estar em termos de x. Neste caso, precisaremos colocar as duas na mesma variável: ou colocamos a que está em termos de y em termos de x ou a que está em x em termos de y. Tudo vai depender daquilo que for mais conveniente, pois, dependendo da função, poderemos acabar com duas ou mais funções após a conversão – típico de quando há algo elevado ao quadrado, o que nos obrigará a dividir a solução do problema em partes. É de fundamental importância, também, esboçar os gráficos das funções envolvidas para saber qual é a que está acima e qual é a que está abaixo – pois a resposta pode não ser óbvia e não respeitar a ordem dada no exercício.

Vamos ilustrar esse artigo com um exemplo: calcular a área da região limitada acima por y = x + 6, abaixo por y = x2 e nas laterais por x = 0 e x = 2.

Ao analisar o desenho abaixo, você poderá compreender exatamente o que estamos querendo calcular: na primeira parte, vemos a área de y = x + 6; na segunda, a área de y = x2 (lembre-se de que a integral calcula a área entre o gráfico e o eixo x) e na terceira a área da primeira função limitada pela segunda:

Assim, para obtermos o resultado desejado, basta fazer:

A= ∫_0^2▒[(x+6)- x^2 ] dx= [x^2/2+ 6x- x^3/3]_0^2=34/3

1.2.Exercício

Considere as seguintes regiões S_1 (Figura 1) e S_2 (Figura 2). As áreas de S_1 e S_2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Podemos afirmar que:

(I) e (II) são verdadeiras

(I) é falsa e (II) é verdadeira

(I) é verdadeira e (II) é falsa

(I) e (II) são falsas

(I) ∫_0^2▒〖1/x dx= 〗 [ln⁡x ]_0^2= ln⁡〖2- ln⁡〖0= ln⁡2 〗 〗→ 0,6931 u.a.

(II) ∫_0^4▒4/x dx= [4 ln⁡x ]_0^4=4ln⁡〖4-4 ln⁡〖0=4 ln⁡〖4 →〗 〗 〗 5,5452 u.a.

Devemos associar o número 8 já que a alternativa correta é a letra (c).

2. Relatório 4

2.1. Volume de um sólido de revolução

O Nascimento do Cálculo

Para realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e consequências do Cálculo, são necessárias pesquisas muito extensas cujos resultados seriam, sem dúvida, um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho como um todo. O nosso intuito é o de dar uma apresentação geral que contenha alguns fatos importantes que permeiam os acontecimentos históricos relacionados com a construção desta poderosa ferramenta da Matemática: o Cálculo.

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton