Circuitos RLC

Análise de Circuitos RLC

9.1 Introdução

Neste capítulo, serão estudados os circuitos RLC’s, ou seja, aqueles que possuem

resistores, indutores e capacitores. Em geral, a análise desses circuitos resulta em equações

diferenciais de ordens maiores ou iguais a dois. Porém, resolução de equações diferenciais

de ordens superiores a dois está fora do objetivo deste manual e, portanto, dois é a ordem

máxima aqui estudada.

Primeiramente, uma descrição analítica referente a equações de 2º ordem será

abordada e posteriormente os circuitos serão analisados aplicando essa abordagem.

9.2 Resolução de Equações Diferenciais Lineares de 2° ordem

A forma geral das equações diferenciais lineares de 2° ordem é:

( ) ( )

( ) ( )

1 0

2

2 a y t F t

dt

dy t

a

dt

d y t

a + + = (9.1)

Onde:

- t é a variável independente;

- y(t) é a variável dependente ou resposta;

- F(t) é a função forçante (ou excitação).

Se:

- F(t)
0 então a função é dita não homogênea

- F(t) = 0 então a função é dita homogênea

A equação homogênea deve possuir duas soluções diferentes e linearmente

independentes y1(t) e y2(t). A solução mais geral da equação homogênea é:

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y t k y t k y t H = + (9.2)

Onde k1 e k2 são determinadas constantes tais que satisfazem as condições iniciais

do circuito. Só podem ser determinadas após se encontrar a solução completa da equação

diferencial.

A solução completa da equação diferencial não-homogênea será:

y(t) y (t) y (t) H P = + (9.3)

Onde yP(t) é qualquer solução da equação não homogênea e é chamada de solução

particular.

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9.2.1 Solução da equação homogênea

Para solucionar uma equação homogênea se pode utilizar a solução da equação de

segunda ordem padrão (equação 9.4). Essa solução é deduzida a seguir.

( ) 0

( )

2

( ) 2

2 0

2

+ + y t =

dt

dy t

dt

d y t a w (9.4)

Admitindo que yH(t) = est seja uma solução da equação 9.4 então:

2 0 2

0

s2est + asest +w est = (9.5)

( 2 ) 0 2

0

est s2 + as +w = (9.6)

Para que essa equação seja satisfeita para todos os valores de t, é necessário que:

2 0 2

0

s2 + as +w = (9.7)

A equação 9.7 é chamada equação característica e é usualmente escrita por

inspeção direta da equação homogênea padrão. Obviamente para 9.7:

2

2 4 4 2

0

- a ± a 2 - w

s = (9.8)

2

0

s = -a ± a 2 -w (9.9)

Pode-se observar que existem quatro casos possíveis de combinações para a e wo.

Os quatro casos possíveis estão dispostos nos itens de ‘a’ a ‘d’ que se seguem:

a) a > wwo : CASO SUPERAMORTECIDO . No caso superamortecido as raízes

são negativas ( a -w 2 <a

0

2 ) e a solução da equação homogênea é a seguinte:

s t s t

H y t k e 1 k e 2

1 2 ( ) = + (9.10)

Onde, s1 e s2 são, de acordo com a equação 9.9:

 2

0

2

1 s = -a + a -w

 2

0

2

2 s = -a - a -w

Um esboço gráfico para o caso superamortecido é mostrado na figura 9.1.

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Figura 9.1: Gráfico para o caso superamortecido.

b) a = wwo : CASO CRITICAMENTE AMORTECIDO. No caso de amortecimento

crítico a solução mais geral s t s t

H y t k e 1 k e 2

1 2 ( ) = + , não dará a solução para

equação homogênea. Isto ocorre porque neste caso, pela equação 9.9, s1 = s2 = -a

e