Definição De Integrais

TEXTO 01: C Á L C U L O I I I - CURSO DE ENGENHARIA

Prof. José Norberto Reinprecht

1. INTEGRAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

1.1 INTEGRAIS INDEFINIDAS

1.1.1 INTRODUÇÃO

Até aqui preocupamos essencialmente com o problema: dada uma função, achar a sua

derivada. Mas, em muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso:

dada a derivada de uma função, determinar a função. Por exemplo, um físico que conhece a

velocidade de um corpo em movimento e queira determinar a posição do corpo num dado

instante; um pesquisador que conheça a taxa de aumento de uma determinada população e

queira prever a população num instante futuro.

O processo de obtermos uma função a partir de sua derivada é chamada de integral indefinida

ou antiderivação.

1.1.2 PRIMITIVA OU ANTI-DERIVADA

Se F’ ( x ) = ƒ ( x ) , então a função F( x ) é chamada de primitiva ou antiderivada da função

ƒ (x) .

Exemplo:

F(x) =

2 x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois (

2 x ) ’ = 2x

G(x) = 3 2 x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 3 2 x ) ’ = 2x

H(x) = 5 2 x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 5 2 x ) ’ = 2x

1.1.3 OBSERVAÇÕES

1. Todas as primitivas de ƒ (x) = 2x são da forma: F (x) = x C 2

, onde C é uma

constante qualquer.

2. Uma função ƒ (x) admite infinitas primitivas que diferem entre si por uma

constante. Portanto, se F(x) é uma primitiva da função ƒ (x) , então qualquer

outra primitiva de ƒ (x), tem a forma: G (x) = F (x)+C .

3. A interpretação geométrica para o fato de que as infinitas primitivas da mesma

função contínua diferem por uma constante, é que os seus gráficos são

translações verticais uma da outra, ou seja, as inclinações de todas as curvas são

iguais para uma mesma abscissa x.

O gráfico abaixo (figura 1.1.1) apresenta quatro primitivas da função ƒ (x) = 2x .

( Figura 1.1.1 )

1.1.4 INTEGRAL INDEFINIDA

O conjunto das infinitas primitivas F(x) + C de uma função ƒ (x) é chamado de integral

indefinida da função ƒ (x) , e denotado por f (x) dx .

Portanto, f (x) dx F(x) C [F(x) C ]' f (x)

Notações: : símbolo de integração

f (x) : integrando

dx : diferencial e indica que a primitiva é calculada em x.

C : constante de integração

Exemplos:

a) x dx x C 2 2 , pois ( x C ) ' 2x 2

b) x dx x C 4 5

5

1

, pois

5 4 4 .5

5

1

) '

5

1

( x C x x

c) e dx e C 3x 3x

3

1

, pois

x x e C e3 3 ) '

3

1

(

2.2 REGRAS DE INTEGRAÇÃO

2.2.1 REGRAS DE INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES

As regras de integração que serão apresentadas a seguir, são deduzidas de uma regra

de diferenciação correspondente.

REGRA 1 k dx k.x C ( k é constante)

De fato, pois ( k.x C) ' k

Portanto, k dx k.x C ( k é constante)

Exemplos:

a) 3 dx 3x C

b) 5 dx 5x C

c) dx 1 dx 1x C x C

REGRA 2 C

n

x

x dx

n

n

1

1

, ( para n -1 )

De fato, pois

n

n n

x

n

n x

C

n

x

1

( 1).

) '

1

(

1 1 1

Portanto, C

n

x

x dx

n

n

1

1

, ( para n -1)

Exemplos:

a)