EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem

As leis da física geralmente são escritas com equações diferenciais. Portanto, toda ciência e engenharia usa equações até um certo grau. Entender equações diferenciais é essencial para entender quase tudo que você vai estudar nas suas aulas de ciência e engenharia. Você pode pensar na matemática como a linguagem para ciência e engenharia. Como analogia suponha que todas suas classes a partir de agora são dadas em swahili. Neste caso seria importante aprender swahili primeiro, senão você vai ter problemas de obter uma boa nota nas suas outras classes.

Você já viu muitas equações diferenciais talvez sem saber disso. E você até já resolveu equações diferenciais simples em outras classes de cálculo. Vamos ver um exemplo que você provavelmente ainda não viu:

dx/dt+x=2 cost.

Aqui x é a variável dependente e t é a variável independente.Essa equação é um exemplo básico duma equação diferencial. De fato, ela é um exemplo duma equação diferencial de ordem um, pois ela envolve apenas a primeira derivada da variável dependente.Esta equação resulta da lei de Newton sobre esfriamento onde a temperatura ambiente oscila com o tempo.

Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada.

Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.

Exemplos:

dy/dx=x+5;d²y/dx² + 3dy/dx+2y=0; xy^'+y=3;y^'''+2(y^'' )+y^'=cos x

Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

Exemplos: ∂z/∂x= +x ∂z/∂y ; ∂²z/∂x² + (∂²z )/∂x² = ∂y/∂x=x²+y

Ordem de uma Equação Diferencial: É a ordem da mais alta derivada que nela aparece.

Grau de uma Equação Diferencial: Considerando as derivadas como uma polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.

Solução ou integral geral: É toda a função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc.

Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

Exemplo:A equação diferencial dy/dx= sen x tem como solução geral a seguinte família de curvas a que chamamos campo de direções da equação diferencial.

Equações Diferenciais. Aplicações e Modelagem

As leis da física geralmente são escritas com equações diferenciais. Portanto, toda ciência e engenharia usa equações até um certo grau. Entender equações diferenciais é essencial para entender quase tudo que você vai estudar nas suas aulas de ciência e engenharia. Você pode pensar na matemática como a linguagem para ciência e engenharia. Como analogia suponha que todas suas classes a partir de agora são dadas em swahili. Neste caso seria importante aprender swahili primeiro, senão você vai ter