ESTUDO DE DERIVADAS
Pesquisas Acadêmicas: ESTUDO DE DERIVADAS. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicosPor: FERNANDAPEDRO • 16/9/2014 • 3.843 Palavras (16 Páginas) • 358 Visualizações
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UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
UNIDADE MARICÁ
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
MATEMÁTICA 2 – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES)
No presente capítulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e
algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de
derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.
Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de
variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos
simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.
1) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Vejamos um exemplo inicial:
Considere a função f(x) = x2, que define a produção (em toneladas) de uma Empresa
X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do
expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a
produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas
trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar
uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h. Veja isso:
a) Produção da Empresa até as 2 horas 4 f(2) – f(0) = 22 - 02 = 4 toneladas.
b) Produção da Empresa até as 3 horas 4 f(3) – f(0) = 32 - 02 = 9 toneladas.
Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas (9 – 4), em 1 hora,
no intervalo de 2 horas às 3 horas.
c) Produção da Empresa até as 5 horas 4 f(5) – f(0) = 52 - 02 = 25 toneladas.
d) Produção da Empresa até as 6 horas 4 f(6) – f(0) = 62 - 02 = 36 toneladas.
Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1
hora, no intervalo de 5 horas às 6 horas.
O que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a
variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a
taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 ton/h e que a taxa de
variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 ton/h.
Definição:
Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até
b (x variando de a até b) é a razão definida por:
b - a
TV f (b) - f(a) a b=
2
Esta razão apresentada tem uma representação específica na matemática, que é:
x
TV y a b
=
Vejamos um segundo exemplo:
Considere a função f(x) = 2x + 1. Determine a taxa de variação desta função no
intervalo [2, 5].
Solução:
9,33
3
28
3
33 - 5
3
2 1- (2 1)
5 2
f (5) - f(2)
x
TV y
5 2
a b = + + = =
=
=
Uma possível interpretação: Supondo que a função acima estivesse
representando uma população de bactérias (em milhares), em função do tempo
(medido em segundos, após um instante inicial), teríamos que no intervalo de 2 a 5
segundos após o início da contagem, houve um acréscimo médio de 9,33 milhares
de bactérias por segundo. É isso que representa a denominada taxa de variação
média, entre dois pontos de uma função.
Interpretação Geométrica da Taxa de Variação entre dois pontos
Vamos imaginar que o gráfico da função y = f(x) seja o representado abaixo.
Marcaremos nesse gráfico os pontos do domínio a e b, com os respectivos valores
da função (imagem) f(b) e f(a).
y = f(x)
r
f(b)
y
f(a)
x
a b
Observe que, quando a função é do tipo crescente, a taxa de variação média entre
dois pontos será sempre POSITIVA. Verifique também que, caso a função fosse
decrescente entre esses pontos, a taxa de variação seria NEGATIVA. O que será
que ocorreria se a função fosse constante entre esses pontos?
A taxa de variação média no intervalo
[a, b] é numericamente
...