Equação Diferencial

MODELAGEM DE CIRCUITOS ELETRICOS POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Nas séries de Fourrier pode-se assegurar que a série convirja uniformemente no intervalo –π ≤ x ≤ π, se a série convergir uniformemente para todos os valores de x. Logo, podem-se obter os coeficientes da série de Fourier explorando-se as relações de ortogonalidade.

Tendo a função abaixo do sistema analisado, podemos achar uma resposta geral:

f(x)= 1/2 Ao+ ∑_(n=1)^∞▒〖(An cos⁡〖nx+ Bn sen nx)〗 〗

1

Integrando-se os dois membros da equação inicial (1) entre (-π,π)

∫_(-π)^π▒f(x)dx=∫_(-π)^π▒〖1/2 Ao〗 dx + ∑_(n=1)^∞▒[∫_(-π)^π▒〖An cos⁡nx 〗 dx+ ∫_(-π)^π▒〖Bn sen nx〗 dx]

∫_(-π)^π▒f(x)dx= 1/2 Ao ∫_(-π)^π▒dx= 1/2 Ao (2π)= Ao . π

Ao=1/π ∫_(-π)^π▒f(x)dx

Cálculo de an:

Multiplicando-se a equação inicial (1) por cos px, sendo p, número fixo dado e integrando entre (-π,π)

∫_(-π)^π▒〖f(x) cos⁡〖px dx〗 〗=∫_(-π)^π▒〖1/2 Ao cos⁡px 〗 dx + ∑_(n=1)^∞▒[∫_(-π)^π▒〖An cos px cos⁡nx 〗 dx+ ∫_(-π)^π▒〖Bn sen nx cos⁡px 〗 dx]

Sendo n = p

∫_(-π)^π▒〖f(x) cos⁡〖nx dx〗 〗=An ∫_(-π)^π▒〖(cos nx)〗^2 dx=An .π

An= 1/π ∫_(-π)^π▒〖f(x) cos⁡〖nx dx〗 〗

Cálculo de bn:

Multiplicando a equação inicial por sen px, sendo p, número fixo dado e integrando entre (-π,π)

∫_(-π)^π▒〖f(x) sen⁡〖px dx〗 〗=∫_(-π)^π▒〖1/2 Ao sen⁡px 〗 dx + ∑_(n=1)^∞▒[∫_(-π)^π▒〖An sen px cos⁡nx 〗 dx+ ∫_(-π)^π▒〖Bn sen sen nx〗 dx]

∫_(-π)^π▒〖f(x) sen⁡〖px dx〗 〗=∫_(-π)^π▒〖Bn 〖(sen nx)〗^2 〗=Bn . π

Sendo n = p

Bn= 1/π ∫_(-π)^π▒〖f(x) sen⁡〖nx dx〗 〗