Equação diferencial

A) Escrever cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.

1) Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos, (x,y), a inclinação dy/dx igual ao quadrado da abscissa do ponto.

2) Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos, (x,y), a inclinação dy/dx igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto.

3) O rádio se decompõe numa taxa de variação proporcional à quantidade q, presente.

4) A população P de uma cidade aumenta numa taxa de variação proporcional à população e à diferença entre 20000 e a população.

5) Para uma certa substância, a taxa de variação da pressão do vapor (P) em relação à temperatura (T) é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura.

6) Massa x aceleração = força.

7) Cem gramas de açúcar de cana, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa taxa que é proporcional à quantidade não transformada.

B) Resolver os seguintes problemas:

1) Certa substância radioativa decresce proporcionalmente à quantidade presente a cada instante. Se, para uma quantidade inicial de 100 mg, se observa uma redução de 5% após 2 anos, determine: a) uma fórmula que permite calcular a quantidade de substância existente a cada momento t; b) o tempo necessário para que haja uma redução de 10% da quantidade inicial; c) a meia - vida dessa substância.

R: a)y(t)=100(19/20)t/2 b)t=2ln0,90/ln0,95 ~4,108 anos c)t=2ln0,50/ln0,95 ~27,02

2) Uma substância radioativa tem meia vida de 10 anos. Qual era a massa inicial de substância se, ao fim de 2 anos, encontram-se 28g da substância ?

R: y(0)= 28 e1/5 ~34,2g

3) De acordo com a lei de resfriamento de Newton, se um objeto é colocado em um ambiente à temperatura diferente, à taxa a que a temperatura do objeto varia é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente. Suponha que uma caixa a temperatura de 400C seja colocada numa sala a temperatura de 210C e que um minuto depois a temperatura da caixa seja 320C. Qual é a temperatura da caixa t segundos depois que ela é posta na sala?

R: y(t)=19(11/19)t/60+21

4) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 300C. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 00C e, após 20 min , é 150C, determine a temperatura inicial.

R: y(0)= -300C

5) A população dos Estados Unidos era de 4 milhões, em 1790, e 160 milhões em 1960. Se a taxa de crescimento foi, durante todo o tempo, proporcional a população deste tempo, qual foi a constante de proporcionalidade?

R: C=(1/170)ln40 ~0,02117

6) Se a taxa de crescimento da população de um país é sempre igual a 3% da população, por que fator ela é multiplicada a cada 100 anos?

R: e3 ~ 20,08

7) Um recipiente, com 25 cm de profundidade, está cheio de água. Ele se fura de modo que a profundidade de água decresce à taxa (cm/s) igual a 1/3 vezes a profundidade. Quanto tempo se passa até que a profundidade seja de 2,5 cm?

R: t=3ln10s ~6,9s

8) A pressão do ar P(y) (kg/m2) a uma altitude de y (m) acima da superfície da Terra satisfaz a equação diferencial dP/dy=-0,00012P. A pressão do ar na superfície da Terra é 104 kg/m2. Qual é a pressão do ar a uma altitude de 10 km?

R: P(10000)=10000e-1,2 ~3011,9kg/m2

9) Se o poder de compra B(t) de uma moeda decresce à taxa de 0,05B(t) no instante t (anos), quanto tempo leva para B(t) ter a metade de seu valor inicial?

R: t= (ln2)/0,05 ~13,86 anos

10) Uma caixa à temperatura de 10oC é colocada em água gelada a 0oC. A temperatura da caixa está caindo a taxa de 7 graus por minuto, quando ela é de 4oC. A que taxa cai a temperatura, quando ela é de 1oC?

R: