Estudo Da Função Quadrática

ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA.

Objetivos: Compreender o comportamento do gráfico da função quadrática a partir da manipulação dos parâmetros a, b e c em f(x)=ax²+bx+c.

Duração: Dois períodos de 50min.

1) Função Quadrática

• Estamos estudando o comportamento do gráfico da função quadrática descrita algebricamente por f(x)=ax²+bx+c, onde a, b e c são números reais, a não nulo, e x um valor real qualquer.

• Iremos explorar visualmente a relação entre os parâmetros a, b e c em f(x)=ax²+bx+c e o gráfico no plano cartesiano, mais especificamente sobre o comportamento do gráfico quando alterados seus parâmetros.

2) Primeiras Instruções - Abaixo encontra-se:

• O plano cartesiano;

• Os parâmetros a, b e c, coeficientes de f(x)=ax²+bx+c;

• Botão que, ao ser acionado, faz surgir um esboço de gráfico da função quadrática associada aos coeficientes escolhidos;

• Na tela abaixo, explore livremente os parâmetros a, b e c, altere seus valores, faça aparecer a função quadrática. Depois de ter explorado o material, clique em , no canto superior direito, para reiniciar a tela contendo o plano cartesiano. Esse procedimento servirá para que você se familiarize com a interface do objeto.

Função quadrática - Coeficientes e Gráfico cartesiano

Modifique os valores dos coeficientes a, b e c, e perceba as alterações que ocorrem no esboço do gráfico abaixo

Criado com GeoGebra - Necessita de Java instalado para rodar

3) Questões de Exploração:

• Depois de clicar em , siga os seguintes procedimentos:

o (1°): Clique APENAS em "Aparecer função f(x)=ax²+bx+c". Irá aparecer um esboço do gráfico da função quadrática.

o (PERGUNTA): Qual é o valor do coeficiente a da função representada pelo gráfico acima?

o (PERGUNTA): Qual é o valor do coeficiente b da função representada pelo gráfico acima?

o (PERGUNTA): Qual é o valor do coeficiente c da função representada pelo gráfico acima?

o (PERGUNTA): Qual é a lei algébrica dessa função quadrática?

o (2°): Altere o parâmetro a para o seguinte valor: a=-1.

o (PERGUNTA): Que mudanças você identificou visualmente do gráfico anterior (quando a=1) para o posterior (quando a=-1)?

o (PERGUNTA): Alterne entre valores negativos e positivos o parâmetro a. Por exemplo, escolha a=-2, a=-2.5, a=1, a=3.5, observando as mudanças do esboço do gráfico. Que diferença você identifica visualmente entre o gráfico cujos valores de a são negativos e aqueles cujos valores de a são positivos?

o (3°): Clique em .

o Faça aparecer o gráfico da função quadrática em questão.

o Observe que o gráfico da parábola possui duas partes simétricas, separadas por um eixo vertical de simetria:

o Altere o parâmetro c para o seguinte valor: c=3. (Não altere mais o valor de c, até que seja pedido novamente)

o Alterne o parâmetro b para o seguintes valores em sequência: b=-3, b=-2, b=-1, b=1, b=2, b=3 e b=0.

o (PERGUNTA) Para os valores de b NEGATIVOS, a intersecção do gráfico com o eixo Y ocorre à esquerda ou à direita do eixo vertical de simetria?

o (PERGUNTA) Para os valores de b POSITIVOS, a intersecção do gráfico com o eixo Y ocorre à esquerda ou à direita do eixo vertical de simetria?

o (PERGUNTA) O que acontece se o valor de b for zero?

o (4°): Clique em .

o Faça aparecer o gráfico da função.

o Mantenha os parâmetros a=1 e b=0, e agora alterne o parâmetro c entre os seguintes valores: c=-4, c=-2, c=0, c=3, c=5.

o (PERGUNTA): Observe os gráficos gerados pela alternância do parâmetro c. A sua intersecção com o eixo Y acontece próxima de que valores?

 Observação: Até aqui, você precisou intuir questões visualmente, pois todas as alterações de parâmetros sugeridas tinham o objetivo de modificar o formato do esboço gerado no plano cartesiano. A partir de agora, nas próximas questões, não será exigida a visualização do gráfico.

o (PERGUNTA): Como podemos calcular de maneira precisa os valores da intersecção do gráfico da função quadrática com o eixo Y?

o (PERGUNTA): Tome os valores de c indicados acima (c=-4, c=-2, c=0, c=3, c=5) e encontre o valor de Y em que ocorre a intersecção do gráfico da função quadrática com o eixo Y em cada caso de c.

o 5°): Considere as seguintes funções quadráticas:

 a) f(x)=x²-4x+3

 b) g(x)=x²-x-2

 c) h(x)=x²+7x+12

o (PERGUNTA): Como podemos encontrar os valores da intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo X?

o (PERGUNTA): Calcule exatamente qual é o valor da intersecção entre o gráfico de cada função acima com o eixo X.

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