Exercícios de Teoria dos Conjuntos

1) (5 pontos) Para a realização desta questão, considere N o conjunto dos números naturais, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. Sejam então os conjuntos:

A = { x | x ∈  e 2 < x < 13} B = { x | x ∈  e 1 < x < 11}

C = {1, 3, 5, 7, 9, ...} D = {2, {1}, 1}

Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:

a) 𝐵 ⊆ 𝐴

Verdadeiro. Todo elemento de B é um elemento de A.

b) 11 ∈ B

Falso. 11 não é menor que 11 e portanto não é elemento de B.

c) B ⊆ C

Falso. Por exemplo, 2 ∈ B mas.[pic 1]

d) {1}⊆ D

Verdadeiro. O conjunto {1} é um subconjunto de D.

e) {1} ∈ D

Verdadeiro o conjunto {1} é um dos elementos de D.

f) {3,5,7,8,9}⊆ C

Falso. O elemento 8 não é um elemento de C pois é par.

g) {2} ∈ D

Falso. O conjunto {2} não é um dos elementos de D.

h) {2} ⊆ D

Verdadeiro. O conjunto {2} é um subconjunto de D.

i) 14 ∈ A

Falso. 14 não é menor que 13 e portanto não é elemento de A.

j) {1, 2} ⊆ D

Verdadeiro. O conjunto {1,2} é um subconjunto de D.

2) (3 pontos) Sabendo que A = {13,14,15,16,17,18,19,20}, verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.

a) [pic 2]

Falso, se x=17, temos 50-x=33 e 2x =34, neste caso, e nos números superiores a 17 (18,19 e 20), 50-x é menor que 2x.

b)  (x não é primo nem par)[pic 3]

Verdadeiro, existe x=15 em A e 15 não é primo nem par.

c)  [pic 4]

Verdadeiro, Se x=20 temos, x²=400, neste caso x² é maior que 380.

d)  (2x + 1 é ímpar)[pic 5]

Verdadeiro, qualquer que seja o elemento x a expressão 2x+1 sempre resultará num número ímpar.

e) [pic 6]

Falso, qualquer que seja o elemento x do conjunto A quando multiplicado por 2 é superior a 20.

3) (2 pontos) Considere A = {2, 3, 4, 5}. Determine o conjunto verdade de cada uma das sentenças abaixo, considerando em todos os casos 𝑥 ∈ 𝐴.

a) (x < 7) ∧ 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

O conjunto verdade desta sentença são os elementos de A que são ao mesmo tempo menores que 7 e ímpar. Logo, V={3,5}

b) (𝑥2 − 3𝑥 = 0) ∨ (𝑥2 = 𝑥)

O conjunto verdade desta sentença são os elementos de A na qual se substituídos na equação (x²-3x=0) ou (x²=x), Logo V={3}

Obs.: Lembre-se de que o conjunto verdade de uma sentença é o conjunto dos números pertencentes ao conjunto A para os quais a sentença é verdadeira.