Exponencial

Uma função P é uma função exponencial de t com base a se

P = Poat

Onde P0 é o valor inicial (quando t = 0) e a é o fator pelo qual P varia quando t aumenta de uma unidade (1).

Sabemos que se a > 1, temos crescimento exponencial e se 0 < a < 1, temos um decaimento exponencial.

É muito comum encontrarmos funções exponenciais de base e (e = 2,71828...). Esta base é usada tão frequentemente que é chamada base natural. O fato de a maior parte das calculadoras terem um botão ex é uma indicação de quão importante é essa base.

O gráfico de y = ex é mostrado abaixo. Como e fica entre 2 e 3, não é surpreendente que o gráfico de y = ex fique entre os gráficos de y = 2x e y = 3x.

Funções exponenciais de base e

Considere a função y = b.ax. Para qualquer número positivo a, podemos escrever a = ek para algum k. Se a > 1, então k é positivo, e se 0 < a < 1, então k é negativo. Assim, a função que representa uma população crescendo exponencialmente pode ser reescrita como:

P = Poat = Po(ek)t = Po.ekt

com k positivo. No caso em que 0 < a < 1, podemos usar outra constante positiva, k, e escrever

a = e –k

Se Q for uma quantidade que decai exponencialmente e Q0 a quantidade inicial, ao tempo t temos:

Q = Qoat = Qo(e-k)t = Qo.e –kt =

Como ekt está no denominador, Q decresce quando o tempo avança.

Toda função de crescimento exponencial pode ser escrita em qualquer uma das duas formas.

P = Poat ou P = Poekt

e toda função de decaimento exponencial pode ser escrita em qualquer uma das duas formas.

Q = Qobt ou Q = Qoe-kt

Onde Po e Qo são as quantidades iniciais, a > 1 e 0 < b < 1 e k é uma constante positiva. Dizemos que P e Q estão crescendo ou decaindo a uma taxa contínua k.

Por exemplo, k = 0,02 corresponde a uma taxa contínua de 2%.

Exemplos:

1) A população de uma cidade é de 50 000 em 1999 e cresce a uma taxa anual contínua de 4,5%.

a) Dê a população da cidade como função do número de anos desde 1999. Esboce um gráfico da população contra o tempo.

b) Qual será a população da cidade no ano 2009?

c) Calcule o tempo para que a população da cidade chegue a 100 000. É o que se chama o tempo de duplicação da população.

Solução:

a) Usamos a fórmula P = Poekt,e temos P = 50000e0,045t,

onde t é o número de anos desde 1999.

b) O ano 2009 é quando t = 10, portanto, P = 50000e0,045.(10) ~ 78 416