FUNÇÃO EXPONENCIAL

FUNÇÃO EXPONENCIAL

DEFINIÇÃO: Chama-se função exponencial qualquer função f: R→R dada por uma lei da forma f(x) =ax, em que a é um número real dado, a>0 e a≠1.

Exemplos: y = 2x ; f(x)=(1/3)x; f(x) = (1 + x)1/x

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1.

Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde 0 < a < 1.

Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes:

1) O gráfico (curva) de uma função exponencial nunca irá interceptar o eixo x, pois esta função não possui raiz. 2) O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão positivos.

3) O domínio natural de cada função exponencial é (-∞, + ∞) e a imagem de f(x) = ax é (0, + ∞) , admitindo por suposição que o gráfico de y = ax seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos.

A função exponencial natural (ex) é utilizada para modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Sua base é número e, que é 2,718281828 para nove casas decimais.

A função exponencial mais simples é a função . Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função é e a imagem é o conjunto .

PROBLEMAS:

1) Duas populações, designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos por f(t) = 36 + t2 e g(t) = 10(2t), sendo t o número não negativo que representa o tempo em meses. Então analise as seguintes afirmações:

a) A população G duplica a cada mês.

b) g(51) – g(50) = g(50)

c) Quando t=1 a população F é menor do que a população G.

d) Em nenhum tempo a população F será igual à população G.

2) (Uneb-BA) A expressão P(t) = k . 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, ela possuia no ano 2 000?

a) 352 200 b) 401 000 c) 423 000 d) 439 000 e) 441 000

3) (UFPA) Uma reserva florestal possui 10 000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é y(t) = 10 000 . 2-t.

4) Esboce o gráfico de e de , comparando-os com o gráfico de .

5) Esboce o gráfico da função .

6) Resolva as equações exponenciais:

a)

b)

7) Determine o conjunto solução da desigualdade

LOGARITMOS e FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Do grego: logos (razão) + arithmos (número)

Definição

Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de a na base b é o expoente a que b deve ser elevado para que o resultado seja a. Em símbolos:

Dizemos que b é a base e a é o logaritmando.

É importante, contudo, definir algumas restrições à base e ao logaritmando:

i) A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas.

ii) A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.

iii) O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas.

CCOONNSSEEQQUUEENNCCIIAASS

- O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0.

log a 1 = 0, pois a0 = 1

- O logaritmo da base, qualquer que seja ela é igual a 1.

log a a = 1, pois a1 = a

- A potência de base a e expoente log a b é igual a b.

a log a b = b

Pois o logaritmo de b na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a potência fique igual a b.

- Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

log a b = log a c ⇒ b = c

EEXXEEMMPPLLOOSS

log 2 4

log 3 81

log 2 1/8

log 7 7

log 5 1

log 1/5 125

8 log 8 5

log 5 (2x+1) = log 5 (x+3)

log 16 0,25

log 2 5 = 2,32

log 5 = 0,699

O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é chamado logaritmo natural, já que a função é a inversa da função exponencial natural ex. É comum denotar o logaritmo natural de x por ln x. Assim:

ln 1 = 0 ln e = 1 ln 1/e = -1 ln (e²) = 2 ln(ex) = x ou e ln x = x

PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS LLOOGGAARRIITTMMOOSS

 LOGARITMO DO PRODUTO: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos dos números.

log a (b. c) = log a b + log a c

 LOGARITMO DO QUOCIENTE: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

log a b/c = log a b - log a c

 LOGARITMO DA POTÊNCIA: Em qualquer base, o logaritmo de uma potência