Funçao Exponencial

Função Exponencial

Função exponencial é toda função , definida por com e .

Neste tipo de função como podemos observar em , a variável independente x está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante também observar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.

Note que temos algumas restrições, visto que temos e .

Se teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso equivaleria a que é uma função constante.

E para , por que tal restrição?

Ao estudarmos a potenciação vimos que 00 é indeterminado, então seria indeterminado quando .

No caso de não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo, e o valor de não será um número real, pois teremos:

E como sabemos .

Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano

Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da mesma forma que fizemos com a função quadrática, ou seja, arbitrarmos alguns valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico.

Para a representação gráfica da função arbitraremos os seguintes valores para x:

-6, -3, -1, 0, 1 e 2.

Montando a tabela temos:

x y = 1,8x

-6 y = 1,8-6 = 0.03

-3 y = 1,8-3 = 0.17

-1 y = 1,8-1 = 0.56

0 y = 1,80 = 1

1 y = 1,81 = 1.8

2 y = 1,82 = 3.24

Temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função.

Uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.

A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:

Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:

GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Função exponencial

0 < a < 1 Função exponencial

a > 1

f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

● f é injectiva

● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferenciável em lR

● A função é estritamente decrescente.

● limx→ -∞ ax = + ∞

● limx→ +∞ ax = 0

● y = 0 é assimptota horizontal f: lR lR

x ax

● Domínio = lR

● Contradomínio = lR+

● f é injectiva

● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR

● f é continua e diferenciável em lR

● A função é estritamente crescente.

● limx→ +∞ ax = + ∞

● limx→ -∞ ax = 0

● y = 0 é assimptota horizontal

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:

 ax ay= ax + y

 ax / ay= ax - y

 (ax) y= ax.y

 (a b)x = ax bx

 (a / b)x = ax / bx

 a-x = 1 / ax

Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...)

 y = ex se, e somente se, x = ln(y)

 ln(ex) =x

 ex+y= ex.ey

 ex-y = ex/ey

 ex.k = (ex)k



A CONSTANTE DE EULER

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)