Funçoes e polinomios

Função do 1° Grau

Definição

     Toda função [pic 2] tal que [pic 3] com [pic 4]e [pic 5] é denominada uma função polinomial do [pic 6]grau.

      Exemplos:

[pic 7]

Terminologia:

Na função [pic 8], [pic 9] é o coeficiente angular e [pic 10]é o coeficiente linear.

Obs: Quando a = 0, tem-se que f(x)=b, que é chamada função constante.

Função Linear

      A função linear é um caso particular da função polinomial do [pic 11] grau. Fazendo b=0, temos f(x) = ax, que é função linear.

     

      Como caso particular da função linear, se fizermos a =1, temos f(x) = x que é a função identidade.

     

Assim,

f(x) = ax+b[pic 12]função polinomial do [pic 13] grau

f(x) = b[pic 14]função constante

f(x) = ax[pic 15]função linear

f(x) = x[pic 16]função identidade

Gráfico da função polinomial do 1° grau

     

      O gráfico de uma função afim é uma reta não paralela aos eixos coordenados.

     

      Vamos esboçar, por exemplo, o gráfico da função f(x) = 2x +1. Construindo uma tabela e assinalando os pontos no diagrama cartesiano, temos:

x	y	Pontos
-2	2(-2) +1=  -3	A(-2,-3)
-1	-1	B(-1,-1)
0	1	C(0,1)
1	3	D(1,3)
2	5	E(2,5)

Representando o gráfico teremos:

[pic 17]

Completar gráfico durante a aula

Raiz ou zero de uma função polinomial do[pic 18]grau

    A raiz ou zero da função corresponde ao valor de x que anula a função, ou seja, é o elemento do domínio que possui imagem igual à zero. Então, para encontrarmos a raiz de uma função, basta resolver  f(x) = 0. A função afim possui uma única raiz, mas há funções que admitem mais de uma ou nenhuma raiz.

      Exemplos:

1. Se f(x) = 2x+1, então sua raiz é calculada por 2x+1=0 [pic 19].

1. A raiz da função h(x) = -2x+2 é x=1.

Observando o gráfico da função anterior, podemos chegar às seguintes conclusões:

1. O valor de b é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y.
2. A raiz representa a abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo x.
3. Quando a >0 [pic 20]reta inclinada para a direita[pic 21]função crescente.
4. Quando a <0 [pic 22] reta inclinada para a esquerda [pic 23] função decrescente.

Ou seja:

Função crescente                Função decrescente

[pic 24]

x12[pic 25]f(x1) < f(x2)        x1>x2[pic 26]f(x1) > f(x2)

Estudo do sinal da função do [pic 27]grau

    Estudar o sinal de uma função significa verificar para quais valores de x a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula.

Para isso procedemos dessa maneira:

1. Determinamos a raiz da função, fazendo f(x) = 0
2. Verificamos se a função se a função é crescente ou decrescente, através do sinal de a.
3. Fazemos um esboço de um gráfico e analisamos para quais valores de x a reta está acima ou abaixo do eixo x.

Exemplos:

1) Estude o sinal da função f(x) = 2x + 4.

Raiz: f(x) = 0[pic 28]2x+4 = 0 [pic 29]x= -2

Como a=2, a função f é crescente.

Esboço gráfico:

[pic 30]

Então, f(x) = 0 para x = -2