Função exponencial

Chama-se função exponencial a função ƒ:R→R+* tal que ƒ(x)= ax em que a ∈ R, 0<a≠1.

O a é chamado de base e o x de expoente.

A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se a base a for um número real entre 1 e 0, (0<a< 1) a função é decrescente.

Índice [esconder]

1 Propriedades da Função Exponencial

1.1 Função exponencial e equações diferenciais

1.2 Função exponencial no plano complexo

1.3 Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

1.4 Mapa exponencial nas álgebras de Lie

2 Ver também

Propriedades da Função Exponencial[editar | editar código-fonte]

Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;

A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;

A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;

Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.

A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste. Note que sua assíntota é y=0.

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor de e^1 é aproximadamente 2{.}718281828

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^{x \ln a}

Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como