Matemática função exponencial

ropriedades da Função Exponencial[editar | editar código-fonte]

Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;

A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;

A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;

Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.

A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste. Note que sua assíntota é y=0.

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

O valor de e^1 é aproximadamente 2{.}718281828

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

a^x = e^{x \ln a}

Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a^0 = 1

a^1 = a

a^{x + y} = a^x a^y

a^{x y} = \left( a^x \right)^y

{1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}

a^x b^x = (a b)^x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

{1 \over a} = a^{-1}

\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}

Função exponencial e equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

{dy \over dx} = y

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.Todas as funçoes estão bem especifidas sendo ligadas uma na outra.

Função exponencial no plano complexo[editar | editar código-fonte]

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

e^{z + w} = e^z e^w

e^0 = 1

e^z \ne 0

{d \over dz} e^z = e^z

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2 \pi i que pode ser escrita como

e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \mathrm{sen}\, b)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo natural a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral: z^w = e^{w \ln z} para todos os números complexos z e w. Essa exponencial é também uma função multivalente.