Material Para Ajuda Matrizes E Determinantes

Definição de matrizes

Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de mxn elementos, dispostos em m linhas e n colunas:

Cada elementos da matriz está representado por um índice: , onde i representa a linha e j indica a coluna a que o elemento pertence.

Tipos de matrizes:

a) Matriz retangular: onde .

b) Matriz coluna: do tipo : (a matriz coluna nx1 representa um vetor V do espaço vetorial de dimensão n. Essa matriz também é chamada de vetor-coluna).

c) Matriz linha: do tipo 1xn: .(a matriz linha é chamada de vetor-linha).

d) Matriz quadrada: quando o número de linhas é igual ao número de colunas.

A matriz quadrada possui diagonal principal e diagonal secundária

e) Matriz diagonal: é a matriz onde somente a diagonal principal tem valor diferente de zero:

f) Matriz escalar: é a matriz diagonal onde os elementos da principal são iguais:

g) Matriz Unidade ou identidade: é uma matriz escalar onde os elementos da diagonal principal são iguais a1:

h) Matriz Zero: todos os elementos são nulos.

i) Matriz Oposta:é uma matriz que somada a matriz dada resulta na matriz nula.

j) Matriz Transposta: quando trocamos a posição de linhas e colunas

Operações com matrizes

1) Igualdade de matrizes

Duas matrizes são iguais se, e somente se seus elementos forem iguais

2) Adição de matrizes

A soma de duas matrizes A e B é: . A soma se dá elemento a elemento respeitando a posição.

3) Subtração de matrizes

A subtração de duas matrizes A e B é: . A subtração também respeita a posição dos elementos.

4) Produto de matriz por escalar.

Seja um número real qualquer e A uma matriz de ordem mxn, o produto de por A é: . A multiplicação de escalar respeita a propriedade distributiva.

5) Produto de matriz por matriz.

A multiplicação entre matrizes somente ocorrerá de o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. A matriz resultante terá o número de linhas da primeira e o numero de colunas da segunda.

A multiplicação respeita linhaxcoluna (a primeira linha multiplica a primeira coluna – respeitando a posição dos elementos, o resultado é a soma da multiplicação, etc.)

OBSERVAÇÕES

a) O produto de duas matrizes não é comutativo, isto é .

b) O produto entre duas matrizes de mesma ordem, sendo que uma delas é a matriz identidade, é comutativa e a resultante é a própria matriz A

c) Quando o produto entre duas matrizes de mesma ordem resulta na matriz identidade, uma é inversa da outra.

, portanto para se saber se duas matrizes quadradas são inversas, basta multiplica-las.

Se uma matriz admite inversa, essa é única.

Exercícios de aplicação – aula 1

1) Sejam matrizes. Calcule

2) Dadas as matrizes , calcule:

a) A+B b) C-A c) 3A-2B+4C

3) Calcule o AxB