Momento De Inercia

Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais

Temos que calcular a quantidade

onde xi é a distância da partícula de massa mi ao eixo de rotação.

Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa através de

Um extremo

Da segunda massa

Do centro de massa

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partícula é

IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partícula é

IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partícula (centro de massas) é

IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2

Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de forma indireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido IC podemos calcular IA e IB, sabendo as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.

A fórmula que temos que aplicar é

I=IC+Md2

IC é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de massa

I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior

M é a massa total do sistema

d é a distância entre os dois eixos paralelos.

IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa

Passamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua de massa. A fórmula que temos que aplicar é

dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação

Resolveremos vários exemplos divididos em duas categorias

Aplicação direta do conceito de momento de inércia

Partindo do momento de inércia de um corpo conhecido

Momento de inércia de uma varinha

Vamos calcular o momento de inércia de uma varinha de massa Me comprimento L relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de massas.

A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx é

O momento de inércia da varinha é

Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular o momento de inércia da varinha relativo a um eixo perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos.

Momento de inércia de um disco

Vamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um anel de raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido em um retângulo de comprimento 2px e largura dx, cuja massa é

O momento de inércia do disco é

Momento de inércia de um cilindro

Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R e comprimento L relativo a seu eixo.

Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é uma camada cilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como é mostrada na figura. A massa dm que contém esta camada é

O momento de inércia do cilindro é

Momento de inércia de uma placa retangular

Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular delgada