Momento De Inercia

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Universidade Federal do Paraná

Estática – TM227

Professor Dr. Adriano Scremin

10- Momentos de Inércia Momento de inércia de área: medida da resistência à flexão de uma viga. Momento de inércia de massa: medida da inércia (resistência) ao movimento de rotação de um corpo sólido. 10.1- Definição de Momentos de Inércia de Área Considere uma figura plana de área A e um sistema de eixos ortogonais com origem em O:

Figura 10. 1 Momento de inércia de área em relação ao eixo x: (Equação 10.1) Momento de inércia de área em relação ao eixo y: (Equação 10.2) Momento polar de inércia: (Equação 10.3) Observe que os três, são sempre positivos. 10.2- Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área. Considere uma figura plana de área A e dois sistemas de eixos ortogonais paralelos entre si, um centrado no centróide da figura e outro num ponto O qualquer:

Figura 10. 2

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(Equação 10.4) Analogamente: (Equação 10.5) Somando (1) e (2) obtém-se o momento de inércia polar em relação a O. (Equação 10.6) De (1), (2) e (3) observam-se que o menor momento de inércia ocorre quando os eixos x, y ou o ponto O coincidem com o centróide da figura. Situação de mínima inércia de área. 10.3- Raio de Giração de Uma Área. Define-se o raio de giração de forma genérica como: (Equação 10.7) Assim: ; ; 10.4- Momentos de Inércia de uma Área por Integração. Exemplos 10.1 – 10.4, páginas 425 – 429.

10.5- Momentos de Inércia de Áreas Compostas. Propriedades da adição: Considere uma figura plana formada por “n” partes.

Figura 10. 3 Por definição: (Equação 10.8) Analogamente: (Equação 10.9) (Equação 10.10)

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Propriedades da Subtração: Se uma figura é formada pela subtração de uma figura por outra, isto é, , então, por definição: (Equação 10.11)

Figura 10. 4 Exemplo: 10.5, págs 432 – 434.

10.6- Produto de Inércia de uma Área.

Figura 10. 5 Define-se o produto de inércia de uma figura plana de área A relativamente aos eixos x e y como: Observe que: pode assumir valores positivos e negativos e que: (Equação 10.12)

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Propriedade de Simetria: Se uma figura tem ao menos um eixo de simetria, por exemplo y, então o produto de inércia é nulo.

Figura 10. 6 Da propriedade da adição: (Equação 10.13) Teorema dos Eixos Paralelos. Considere uma figura plana de área A e dois sistemas de eixos ortogonais paralelos entre si, um centrado no centróide da figura e outro num ponto O qualquer:

Figura 10. 7 Da definição de produto de inércia relativamente a x e y : (Equação 10.14) Exemplos 10.7 – 10.8, paginas 439 – 441

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10.7- Momentos de Inércia de Área em Relação a Eixos Inclinados. Considere a figura plana abaixo e os sistemas de eixos com origem em O.

Figura 10. 8 Transformação de coordenadas: (Equação 10.15) (Equação 10.16) Da definição do momento de inércia: Ou (Equação 10.17) Da definição do produto de inércia:

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