O Conceito de Limite de uma função

1. Defina o conceito de Limite de uma função.

A função [pic 1]tende ao limite [pic 2]quando [pic 3]tende para [pic 4] se para todo número positivo [pic 5], existe um número positivo [pic 6] tal que, para todo [pic 7]tal que [pic 8], temos [pic 9].

Neste caso escrevemos,

[pic 10]

2. Resolva de forma explicativa (utilizando os conceitos e explicitando todos os passos da resolução o exercício seguinte:

[pic 11]

Foi feita a divisão do Polinômio

[pic 12]

2x² - x – 1 é igual (x – 1) (2x + 1)

[pic 13]

Na multiplicação ou divisão pode – se cortar

[pic 14]   

[pic 15]

Substitui o X por 1

[pic 16]

3. Observe a sequência de figuras abaixo:

[pic 17]

Considerando w como sendo a quantidade de divisões do lado L por 2, temos que na primeira divisão (w=1), o lado L1 tem valor 1. A soma dos dois segmentos é dada pela fórmula simples abaixo:

L1 + L1 = 1 + 1 =2

Na segunda divisão (w-2) cada um dos lados L1 é dividido ao meio,

interconectando-se em ângulo retângulo como mostrado na figura. Neste caso,

cada um dos L1 é substituído pelo conjunto L2 + L2. O lado L2 passa a ter

comprimento 0,5. Assim, temos que a soma dos 4 segmentos resultantes é dada pela fórmula simples:

L2 + L2 + L2 + L2 = 0.5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2

Nas divisões seguintes, o mecanismo se repete, com L3 = 0,125, L4 = 0,125 e L6 = 0,03125. Em todos os casos a somatória dos lados L sempre resulta no valor 2.

Contudo, algo de interessante pode ser observado: quanto maior o valor de w (ou seja, quanto mais subdivisões), mais a curva resultante se aproxima da diagonal de um triângulo retângulo de catetos iguais de comprimento 1, como pode ser visto na figura abaixo:

[pic 18]

Como a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais de comprimento 1 vale 2 , é correta a afirmação a seguir? Por quê? (utilize o conceito de Limite para embasar sua resposta)

[pic 19]

Lim w→∞ ∑Lw  =       2

[pic 20]

a² = b² + c²

a² = (1)² + (1)²

a² = 1 +1 = 2

a = [pic 21]

[pic 22]

Lim w→∞ ∑Lw  =       2

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

4. Defina o conceito de Derivada de uma função.

Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por  f ’(x0), é dada por:

f (x0 +∆x) − f (x0 )

        f '(x0) = lim        [pic 26] ,

        ∆x→0        ∆x

se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x0 +∆x        (∆x = x − x0 ) , a derivada de f em  x0 pode também se expressa por

                          [pic 27]

        

        df        df

Notações:  f ' ( x0,) ,           ,         (x0 ). [pic 28]

        dx x=x0        dx

5. Encontre a derivada da seguinte função em um ponto arbitrário:

3x2 – 9x + 7x2/5 - 3x1/2