PROGRESSAO

LISTA RESOLVIDA II

1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é

    (A) 60     (B) 59     (C) 72     (D) 80     (E) 76

- Informações do problema:

    a7=20     a10=32     a20=?

- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:

    a7=a1+6r    a10=a1+9r

    20=a1+6r    32=a1+9r

- Formamos um sistema de equações e resolvemos:

20=a1+6r

32=a1+9r

       Vamos isolar o termo a1na primeira equação

a1=20-6r

       Agora vamos substituir este valor na segunda equação

32=20-6r+9r

32-20=9r-6r

12=3r

r=12/3

r=4

       Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.

20=a1+6·4

20=a1+24

a1=-24+20

a1= -4

        Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.

a20=a1+19r

a20=-4+19·4

a20=-4+19·4

a20=72

Resposta certa letra "C".

2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é

    (A) 51     (B) 41     (C) 31     (D) 61     (E) 71

- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:

    a1= (x-2)

    a2= (x-5)

    ...

- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:

   r=a2-a1=(x-5)-(x-2)

 

    r=x-5-x+2

Menos com menos dá mais, por isso temos +2

    r=-5+2

X com -X se anulam

    r=-3

Esta é a razão

- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:

an=a1+(n-1)r      Substituindo por seus valores

(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3)

x-47-x+2= -3n+3

-45-3= -3n

-3n=-48

n=48/3

n=16

- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:

Sn=(a1+an)*n/2

Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2

Sn=(2x-49)*8

Sn=16x-392

- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:

(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424

16x-392=424

16x=424+392

16x=816

x=816/16

x=51    Resposta certa, letra "A"

3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a

    (A)     (B)     (C) 53     (D) 265     (E) 53

- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:

- Agora é só aplicar a fórmula da soma:

Resposta certa, letra "B".

4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede

    (A)     (B)     (C)    (D)     (E)

- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:

- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:

Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.

Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.

O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):

Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:

Resposta