Ponto Reta Plano No R3

1-PONTO

O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas. O ponto P possui duas coordenadas: X e Y, que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp,Yp) como na figura 1.1.

(Figura 1.1)

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) conforme a figura 2.2.

(Figura 2.2)

Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta, para determinar estas condições, utiliza-se a matriz.

2- RETA

A reta é formada por infinitos pontos que estão alinhados. Ela é ilimitada nos dois sentidos. Quando construímos uma reta devemos utilizar letras minúsculas para representá-la.

Uma reta pode ser construída em três posições: horizontal, vertical ou inclinada.

Horizontal

Vertical

Inclinada

2.1- DUAS OU MAIS RETAS PODEM TER AS SEGUINTES POSIÇÕES:

2.1.1- CONCORRENTES:

Retas concorrentes possuem um ponto em comum, pois elas se cruzam.

2.1.2- PARALELAS:

As retas paralelas não possuem ponto em comum.

2.3- SEGMENTO DE UMA RETA:

O segmento de reta é limitado por dois pontos da reta. Observe:

A parte entre os pontos A e B é chamado de segmento de reta.

2.4- SEMIRRETA:

A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui início, mas não tem fim.

2.5- EQUAÇÃO DA RETA:

2.5.1- EQUÇAO GERAL:

Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

Ax + By + C = 0

(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

2.5.2- EQUAÇÃO SEGMETARIA:

Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq , temos:

3- PLANO NO R3

Suponha que tenhamos um plano no espaço, de vetor normal N = (a, b,c) e passando pelo ponto P0 = () . A figura 3.3 abaixo mostra este plano e o vetor N.

(Figura 3.3)

É claro que se um ponto P = (x, y, z) do espaço está neste plano, então o vetor P0 P = (x - xo, y - y0, z – z) deve ser perpendicular a N. Sendo assim, podemos descrever π como sendo o conjunto de pontos P do espaço que resolvem a equação vetorial:

A figura abaixo mostra na figura 4.4 o plano π, o vetor N e um vetor P0 P, com P em π.

(Figura 4.4)

Escrevendo os vetores em coordenadas, temos:

Portanto, a equação vetorial N . P0 P = 0 corresponde à equação cartesiana:

Daí, tomando d = -ax0 – by0 – cz0, obtemos a assim chamada equação geral do plano π:

3.1