Retas E Planos

Retas e Planos

Equa¸c˜oes de Retas

Equa¸c˜ao Param´etrica da Reta no Espa¸co

Considere o espa¸co ambiente como o espa¸co tridimensional. Um vetor v = (a; b; c) determina uma dire¸c˜ao

no espa¸co. Dado um ponto P0 = (x0; y0; z0), existe uma ´unica reta r paralela ao vetor v passando pelo ponto

P0.

r v

P0

P

Gostar´ıamos de encontrar a equa¸c˜ao desta reta. Um ponto P = (x; y; z) pertence a esta reta se e somente

se o vetor

¡¡!

P0P ´e paralelo a v, ou seja, se e somente se

¡¡!

P0P ´e m´ultiplo escalar de v, isto ´e,

¡¡!

P0P = tv

para algum escalar t 2 R: As coordenadas do vetor

¡¡!

P0P s˜ao dadas por

¡¡!

P0P =

¡¡!

OP ¡

¡¡!

OP0 = (x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0):

Portanto, P pertence a esta reta se e somente se

(x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0) = (ta; tb; tc);

ou seja, se e somente se 8<

:

x = x0 + ta

y = y0 + tb

z = z0 + tc

1

Assim, qualquer ponto P de coordenadas (x0 + ta; y0 + tb; z0 + tc) =

¡¡!

OP0 + tv pertence `a reta dada. Esta

equa¸c˜ao ´e chamada uma equa¸c˜ao param´etrica da reta r e v ´e chamado um vetor dire¸c˜ao da reta.

Observa¸c˜ao: O parˆametro t pode ser imaginado como representando o tempo; neste caso o vetor dire¸c˜ao

representa a velocidade com que um ponto percorre esta reta.

Exemplo 1. A reta que passa pelo ponto P0 = (1; 0;¡2) e ´e paralela ao vetor v = (¡5; 8; 3) tem equa¸c˜ao

param´etrica 8<

:

x = 1 ¡ 5t

y = 8t

z = ¡2 + 3t

Sabemos que dois pontos determinam uma reta. Uma equa¸c˜ao param´etrica para esta reta pode ser

encontrada uma vez que as coordenadas destes pontos sejam conhecidas:

Exemplo 2. Encontre uma equa¸c˜ao param´etrica para a reta que passa pelos pontos P1 = (1; 3;¡2) e

P2 = (4;¡5;¡2).

Resposta: Como o segmento orientado

¡¡¡!

P1P2 = (1; 3;¡2) ¡ (4;¡5;¡2) = (¡3; 6; 0) pertence a esta reta,

ele representa um vetor dire¸c˜ao para ela. Qualquer um dos pontos P1 ou P2 pode ser escolhido para

construir uma equa¸c˜ao param´etrica para a reta:

8<

:

x = 1 ¡ 3t

y = 3 + 6t

z = ¡2

ou

8<

:

x = 4 ¡ 3t

y = ¡5 + 6t

z = ¡2

s˜ao duas equa¸c˜oes param´etricas poss´ıveis para esta reta.

Equa¸c˜oes Sim´etricas da Reta no Espa¸co

A partir da equa¸c˜ao param´etrica da reta

8<

:

x = x0 + ta

y = y0 + tb

z = z0 + tc

podemos resolver em t, se todas as componentes do vetor v s˜ao n˜ao-nulas, obtendo as equa¸c˜oes sim´etricas

da reta:

x ¡ x0

a

= y ¡ y0

b

= z ¡ z0

c

:

Exemplo 3. As equa¸c˜oes sim´etricas da reta do Exemplo 1 s˜ao

1 ¡ x

5

= y

8

= z + 2

3 :

Equa¸c˜oes da Reta no Plano

A equa¸c˜ao param´etrica da reta que passa pelo ponto P0 = (x0; y0) paralela ao vetor v = (a; b) ´e dada por

½

x = x0 + ta

y = y0 + tb

:

As equa¸c˜oes sim´etricas desta reta s˜ao

x ¡ x0

a

= y ¡ y0

b

:

2

Da´ı vemos que toda reta no plano pode ser representada por uma ´unica equa¸c˜ao da forma

Ax + By + C = 0:

(Por exemplo, A = b;B = ¡a e C = ay0 ¡ bx0.)

Se A 6= 0, podemos tamb´em escrever esta equa¸c˜ao na forma

y = mx + d

(m