As Retas e Planos

Posições relativas entre uma reta e um plano

As posições relativas entre retas e planos podem ser as seguintes:

1° Caso: A reta é coplanar, ou seja, todos os pontos da reta também pertencem ao plano. A intersecção entre a reta e o plano é a própria reta.

2° Caso: A reta é paralela distinta ao plano, ou seja, nenhum ponto da reta pertence ao plano. A intersecção entre a reta e o plano é o conjunto vazio.

3° Caso: A reta é concorrente ao plano, mas não perpendicular ao mesmo. Neste caso, existe apenas um ponto comum entre a reta e o plano, este ponto é a intersecção entre a reta e o plano.

4° Caso: A reta é perpendicular ao plano, Considerando w como um vetor perpendicular ao plano e u um vetor contido na reta, o conjunto {u, w} é linearmente dependente, pois u é paralelo a w, assim existindo um valor m ∈ IR tal que u = mw.u • w ≠ 0.

 

Intersecção entre uma reta e um plano

O ponto de intersecção T pertence simultaneamente à reta e ao plano. Resolvendo o sistema formado pelas equações paramétricas das retas e a equação geral dos planos, determinamos o ponto T. Caso o sistema apresente infinitas soluções, a reta está contida no plano, e se o sistema for incompatível, significa que a reta é paralela ao plano.

Posições relativas entre dois planos

As posições relativas entre dois planos podem ser as seguintes:

1° Caso: Os planos são coincidentes. Neste caso, todos os pontos de um plano A são equivalentes aos do plano B, isso significa que as equações gerais dos planos também serão equivalentes.

2° Caso: Os planos são paralelos distintos. Neste caso, os planos não possuem nenhum ponto em comum, mas existe ao menos um conjunto de retas paralelas entre os planos, sendo esse conjunto linearmente dependente.

3° Caso: Os planos são secantes, mas não são perpendiculares. Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar uma reta. O conjunto de vetores normais dos planos é linearmente independente.

4° Caso: Os planos são perpendiculares. Para que os planos sejam perpendiculares, seus vetores normais também serão perpendiculares entre si, ou seja, seu produto escalar é igual a 0.

Intersecção entre dois planos

Para descobrirmos a equação da reta da intersecção de dois planos não paralelos, é preciso resolver o sistema das equações gerais dos planos. A direção da reta pode ser descoberta pelo produto vetorial entre os vetores normais dos planos.