Revisão Da Teoria Elementar Das Probabilidades

Teoria Elementar das Probabilidades

Objetivos do módulo

Em Estatística Indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população a partir do conhecimento de uma amostra, ou ao contrário, a previsão do comportamento esperado de uma amostra retirada de uma população conhecida, temos o cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de cada informação.

Assim por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação informa que se a eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que provavelmente o candidato X teria essa quantidade de votos. É uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer que certamente ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é esperada.

Neste módulo iremos ver o que significa e como são calculadas as probabilidades, ramos de estudo da Matemática e não exatamente da Estatística. Inicialmente iremos verificar casos absolutamente teóricos e posteriormente evoluiremos para situações mais próximas da realidade.

Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e no final do módulo faremos uma revisão teórica, apresentando os conceitos e fórmulas utilizadas na Teoria Elementar das Probabilidades. O importante é você dominar o mecanismo de cálculo da probabilidade.

1.1 - Definições de Probabilidades.

Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, irá encontrar algo do tipo:

Probabilidade:

1. Qualidade do provável.

2. Motivo ou indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança.

Como é fácil de notar esta definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de probabilidade; isto porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se probabilidade utilizando-se seus próprios termos.

Deste modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em geometria com as definições de ponto e reta.

Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.

Antes de seguirmos, no entanto na definição de probabilidade é necessário definir alguns termos que serão utilizados:

Experimento amostral: São aqueles que apesar de serem repetidos exatamente da mesma maneira não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo: Você pode jogar um dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que irá obter o mesmo resultado.

Espaço Amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado honesto é dado por:

S = {1 , 2, 3, 4, 5, 6 )

Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o experimento não é aleatório.

Evento: É um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primo é formado por:

E = {1, 2, 3, 5}

1.2 – Cálculos das Probabilidades Elementares.

Usando estes termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:

o Abordagem clássica: É a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja:

Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.

n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.

n(S) o número total de elementos do espaço amostral.

Por exemplo:

Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?

o Abordagem como frequência relativa: É a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. Por exemplo: Jogamos uma moeda 1000 vezes e em 512 destas vezes saiu cara. Podemos dizer por esta definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:

Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Isso pode se dever ao fato da moeda usada não ser honesta (portanto com resultados aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não tenha sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta.

o Abordagem subjetiva: Ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, mas complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas num determinado período. Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão.

o Durante nosso curso iremos utilizar as duas primeiras abordagens, de acordo com o campo de estudo em que estivermos. Deve-se notar que a primeira abordagem é eminentemente teórica e pressupõe experimentos aleatórios em que os elementos são equiprováveis. Já na segunda abordagem podem ser introduzidos fatores diversos, característicos de determinadas situações não totalmente aleatórias.

Revisão teórica dos principais conceitos

Experimento: processo como ocorre uma determinada sucessão de acontecimentos. Por exemplos: Realizar uma reação química; Investir em ações; Jogar dados.

Experimento Matemático ou determinístico: são aqueles em que os resultados podem ser previstos de modo exato utilizando-se a ciência. Por exemplo: Realizar uma reação química.

Experimento aleatório: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar