Sistemas Lineares

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.

Exemplos:

x + y + z = 20

2x –3y + 5z = 6

4x + 5y – 10z = –3

x – 4y – z = 0

Sistema Linear

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Solução de um sistema linear

Dado o sistema:

x + y = 3

x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:

x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3

2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 20

2x – 2y + 2z = 8

2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20

2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8

2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:

O sistema:

x + y = 3

x – y = 1

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.

Matriz completa