Sistemas Lineares

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.

Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pela seguinte equação:

onde D é o diâmetro do tubo (cm), S é a inclinação (cm/cm), Q é vazão (cm3/s), a0 e a1 são parâmetros do modelo.

Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:

EXPERIMENTO DIÂMETRO (D) (cm) INCLINAÇÃO (S) VAZÃO (Q)

1 1 0.001 1.4

2 2 0.01 28.9

3 3 0.05 200

4 4 0.1 250

Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre 2 cm e 3 cm, estimar os parâmetros a0 e a1 utilizando o polinômio de Lagrange de primeiro grau.

2. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial v0 e com um ângulo em relação à horizontal igual a  (graus), descrevendo uma trajetória conforme a figura abaixo. Sabe-se que a 8 m do ponto de lançamento a altitude do projétil é de 6 m. Uma barreira a 20 m do ponto de lançamento intercepta o projétil a uma altitude de 4 m.

6m

4m

v0



` (0,0) 8m 20m

A equação da trajetória é:

adotar g=9.8 m/s2

Para uma outra situação em que o projétil é lançado com a mesma velocidade v0 e com um ângulo 1 de 30o, determine a altura quando x=5m. Utilizar polinômio interpolador de Newton.

3. Dados os seguintes pares de pontos (x,y):

X y

0.5 5

2 13

4 7

Determine:

Determine o polinômio de grau 2 que passa pelos pontos listados utilizando o critério geral de interpolação. Para isso, aplique o método de Gauss com a estratégia de pivoteamento parcial.

4. Uma barra de metal encontra-se devidamente presa em duas paredes separadas pela distância de 12 m. A 5 m da parede A (ver figura), um corpo apoiado sobre a barra faz com que esta toque no solo. Os pontos de engate nas duas paredes estão a 8 m (parede A) e 3 m (parede B) do solo, respectivamente, conforme mostra a figura abaixo.

Pede-se:

a) Determine a altura, em relação ao solo, de um ponto da barra localizado a 2 m da parede A, utilizando interpolação através da fórmula de Lagrange.

b) Considerando-se as mesmas condições descritas, qual deveria ser a altura da barra no ponto localizado a 2 m da parede A, para que o trecho compreendido até 5 m da parede A fosse perfeitamente representado por um polinômio de grau 1 ? Utilize a fórmula de interpolação de Newton.

5. A tabela abaixo mostra valores de x (variável independente) e y (variável dependente):

x y

0 6.3806

0.25 7.1338

0.55 9.1662

0.78 11.5545

Pede-se:

a) Estimar os parâmetros a, b e c do seguinte modelo de ajuste, utilizando a fórmula de interpolação de Lagrange:

b) Estimar os parâmetros w1, w2 e w3 do seguinte