Teoria Das Probabilidades

Teoria das probabilidades

A teoria das probabilidades é o estudo matemático das probabilidades. Pierre Simon Laplace é considerado o fundador da teoria das probabilidades.

Quando falamos de Probabilidades existem algumas definições que é necessário ter presente. Sobre essas definições desenvolve-se toda a teoria das Probabilidades .

Vamos, então, começar por estabelecer quando é que devemos usar as Probabilidades. No sentido corrente do termo, dizemos : "É provável que amanhã vá ao cinema" ou "Tenho pouca probabilidade de ganhar o totoloto ".

Em ambos os casos estamos a fazer previsões futuras sobre acontecimentos que, na realidade, não podemos prever. O que sabemos são, apenas, todas as hipóteses possíveis para esses acontecimentos, isto é sabemos que podemos ou não ir ao cinema, que podemos acertar em todos os números da chave do totoloto, em nenhum ou em alguns, mas não temos nenhuma garantia sobre o que vai acontecer.

Estas situações ( experiências ) dizemos que são aleatórias.

Experiência Aleatória :

Dizemos que uma experiência é aleatória se verificar três propriedades :

Conhecemos todos os seus possíveis resultados.

Cada vez que é efectuada não se conhece antecipadamente qual dos resultados possíveis vai ocorrer.

Pode ser repetida em condições análogas.

Exemplo: O lançamento de um dado é uma experiência aleatória, bem como o lançamento de uma moeda ao ar.

Outro conceito que devemos definir previamente é o de Espaço Amostral.

Espaço Amostral :

É o conjunto de todos os resultados elementares, mutuamente exclusivos e colectivamente exaustivos

Exemplo : O espaço amostral do lançamento de um dado será o conjunto formado por todas as faces, em que cada uma das faces é um resultado elementar.

Outro exemplo é o do lançamento simultâneo de duas moedas. Os resultados possíveis serão : sair duas caras, duas coroas ou uma cara e uma coroa.

Assim o conjunto { 2 caras; 2 coroas; 1 cara e 1 coroa } formado por 3 elementos é o espaço amostral da experiência aleatória.

A qualquer subconjunto do Espaço Amostral damos o nome de acontecimento.

Agora que já estão definidas as bases para o estudo de probabilidade podemos dar uma definição de probabilidade exacta.

Definição frequencista de Probabilidade :

A Probabilidade de um acontecimento, associado a certa experiência aleatória, é a frequência relativa esperada desse acontecimento, ou seja : O quociente entre o número de vezes que o acontecimento se realiza ao fim de n repetições da experiência e o número ( n ) de repetições.

Exemplo : Esta definição de probabilidade é muitas vezes usada em experiências de interesse científico em que as probabilidades são calculadas à posteriori a partir das frequências relativa, do acontecimento em estudo, num número de provas considerável.

Uma outra definição de Probabilidade é dada pela Lei de Laplace, mas antes de a apresentarmos devemos estabelecer em que condições é que a podemos aplicar.

Nas situações em que os vários resultados elementares possíveis são equiprováveis (têm todos a mesma probabilidade) podemos calcular a probabilidade de um acontecimento desse espaço amostral através da Lei de Laplace.

Lei de Laplace :

A probabilidade de um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis.

Podemos representar isso da seguinte forma :

Seja A um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória, cujo espaço amostral é  , tendo-se A   . Seja p(A) a sua probabilidade, então :

Exemplo : A probabilidade de sair face cara quando se lança uma moedas ao ar será 1/ 2 já que o espaço amostral é   { cara ; coroa } e os resultados elementares são equiprováveis. Assim, temos número de casos favoráveis : 1- sair cara e número de