A PROGRESSÃO ARITMÉTICA

[pic 1]

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III  2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU                        www.professorwaltertadeu.mat.br

LISTA DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA – 2012 - GABARITO

1. Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

Solução.  A posição será encontrada quando for calculado o número de termos. Aplicando a fórmula do termo geral com as informações, temos:

[pic 2].

2. Considere a sequência dos números positivos ímpares, colocados em ordem crescente. Calcule 95º elemento.

a) 95                                 b) 131                    c) 187                     d) 189                                 e) 191

Solução.  Os números ímpares positivos são 1, 3, 5,..., com razão 2 (aumentam 2 unidades entre si). O primeiro elemento é 1 e nesta sequência há 95 números.

[pic 3].

3. Numa P.A., cujo 2º termo é igual a 5 e o 6º termo é igual a 13 o 20º termo é igual a:

a) 13                     b) 40                             c) 41                         d) 42                       e) nda.

Solução. Repare que numa progressão aritmética, qualquer elemento pode ser escrito em função da razão e do primeiro termo: a2 = a1 + r; a10 = a1 + 9r;...etc. Desta forma escrevemos o 2º e o 6º termo da PA encontrando um sistema de equações com a1 e r como incógnitas.

[pic 4].

4. Os números  [pic 5] , [pic 6] e [pic 7] são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x≠0. O décimo termo desta P.A. é igual a:

           

a) 50                                            b) 53                                     c) 54                                    d) 57                                 e) 55

Solução. O termo central de uma progressão aritmética é a média aritmética dos termos equidistantes a ele. No caso de uma de três termos a, b, c em PA, b = (a + c)/2. Aplicando essa propriedade nos termos da questão, temos:

[pic 8].

OBS: O valor x = -1 foi descartado devido à informação que os termos eram positivos. Neste caso 10/-1 = -10. O primeiro termos já seria negativo.

5. A soma dos termos de uma P.A. é dada por [pic 9], n = 1, 2, 3,... Então o 10o termo da P.A. vale:

a) 18                                     b) 90                           c) 8                        d) 100                           e) 9

        

Solução. Embora a fórmula utilizada da PA seja outra, essa expressão é usada para esta PA especificamente. Em qualquer caso, entretanto a soma do 1º termo e a1 são os mesmos pela característica da posição. Logo, S1 = a1. Utilizando a fórmula para S2 e assim encontrarmos a razão, temos:

[pic 10].

6. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética [pic 11] é 176. Se [pic 12] então, para qualquer n ∈ IN temos:

a) [pic 13]                      b) [pic 14]        c) [pic 15]          d) [pic 16]               e) [pic 17]

Solução. Pela definição de PA, a11 =  a1 + 10r. Logo, 10r = 30 ⇒ r = 30/10 = 3. Utilizando a fórmula da soma, temos:

[pic 18].

7. Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o de ordem n é 120. A soma do sexto termo com o de ordem n – 5 é:

a) 120                               b) 60n                         c) 90                     d) [120(n+1)]/n                       e) 120n

Solução. Aplicando a propriedade da PA para os termos equidistantes, temos:

[pic 19].

8.(MACK) Se f(n), n ∈ [pic 20]é uma sequência definida por [pic 21], então f(200) é:

a) 597                       b) 600                       c) 601                        d) 604                               e) 607

Solução. Encontrando alguns valores, temos:

i) f(1) = f(0 + 1) = f(0) + 3 = 1 + 3 = 4;   ii) f(2) = f(1 + 1) = f(1) + 3 = 4 + 3 = 7;

iii) f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 3 = 7 + 3 = 10.

Observamos que esta sequência é de um PA de razão 3. Para calcular f(200) utilizando a fórmula do termo geral, começamos com a1 = 4 e n = 200, ou a0 = 1 e n = 201: [pic 22].

9. (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(-a,0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor de b é: