A equação diferencial

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questõesdesde que a equação tenha algumas características. Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial éalgo“similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integraisque não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessaforma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuamsoluções.

Problema de Valor Inicial (PVI)

Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais édenominado Problema de Valor Inicial (PVI)

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

Uma grande quantidade de equações diferenciais ordinárias de primeiraordem pode ser escrita na sua forma normal, dada por:

y’ = f(x, y)

ou quando a função f = f(x, y) pode ser escrita como o quociente deduas outras funções M = M(x, y) e N = N(x, y), temos:

É vantajoso manter o sinal negativo antes da fração, na forma:

pois usando o fato que dy = y’(x)dx, poderemos escrever: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Equações separáveis de primeira ordem

Seja uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Se M é umafunção apenas da variável x, isto é M = M(x) e N é uma função apenasda variável y, isto é N = N(y), então a equação dada fica na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

e ela é chamada equação separável. Isto é motivado pelo fato que é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade possuauma função com apenas uma variável. Desse modo, podemos realizar aintegração de cada membro por um processo “simples”.

Exemplo: A equação diferencial y’ =x/yna sua forma normal, pode serreescrita na sua forma diferencial xdx − ydy = 0 ou ainda na forma

x dx = y dy

Integrando cada termo independentemente, teremos:

e reunindo as constantes em uma constante C, teremos:

x^2 – y^2 = C

e esta relação satisfaz à equação diferencial dada.

Modelos Matemáticos e Equações Diferenciais

Muitos problemas práticos,podem ser modelados pela Matemática:

1. Construção de um modelo para descrever algum fenômeno físico;

2. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelo físico;

3. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático pré-estabelecido;

4. Comparação das quantidades numéricas obtidas através do ModeloMatemático com aquelas que se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver o problema

Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação daadequação dos mesmos, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, geralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os controles sobre as variáveis que não mostraram importância

http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf

Passo 4

Sistemas físicos em grande parte podem ser descritos por uma equaçãodiferencial linear de segunda ordem. Se i(t)representa a corrente elétrica do circuito elétrico RLC série, então, pela segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão sobre o resistor, sobre o indutor e sobre o capacitor é igual à voltagem aplicada a um circuito, conforme pode ser representada pela seguinte expressão

Como a carga q(t)no capacitor relaciona-se com a corrente i(t)por i =dt/dq ,desta forma a equação (1) torna-se a equação diferencial linear de segunda ordem

Logo, está é a equação diferencial que descreve o comportamento