ATPS Calculo

Depoisdetratarmosdasfunçõesdeumaformagenérica, éhoradepossarmosadiscu- tir aquelas funções que são usadas com maior frequência na modelagem de fenômenos reais. Nesse capítulo, trataremos das funções que envolvem polinômios. Já as funções exponenciais e logarítmicas, igualmente importantes, serão vistas no Capítulo 5. Fi- nalmente, deixamos para o segundo volume desse livro o tratamento das funções trigonométricas, dada a relação que essas têm com a geometria do triângulo retân- gulo.

4.1 Funções quadráticas

Por motivos óbvios, damos o nome de função polinomial a uma função que é dada por um polinômio. O quadro abaixo fornece uma descrição precisa desse tipo de função, tomando por base a definição de polinômio fornecida na Seção 2.9.

Função polinomial Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes reais a0,a1, ⋯,an, com an ≠ 0. A função definida por

f(x) = anxn + an−1xn−1 + ⋯ + a1x + a0 é denominada função polinomial de grau n, com relação a x.

Algumas funções polinomiais já foram vistas no Capítulo 3, tais como

f(x) = c Função constante (grau 0).

f(x) = mx + b Função linear ou afim (grau 1).

f(x) = xn Função potência de grau n

Nessa seção, trataremos das funções polinomiais de grau 2, também conhecidas como funções quadráticas.

294 Capítulo 4. Funções polinomiais

Função quadrática Sejam dados os coeficientes reais a, b e c, com a ≠ 0. A função definida por

f(x) = ax2 + bx + c é denominada função quadrática.

As funções quadráticas têm aplicações em áreas variadas, como a física, a econo- mia, a engenharia, a biologia e a geografia. O problema abaixo mostra o emprego de uma função quadrática à descrição da trajetória de uma bola.

Problema 1. Trajetória de uma bola de golfe Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual a altura é dada pela função f(x) = −0,008x2 + x, em que x é a distância horizontal da bola, medida a partir de sua posição antes da tacada. A Figura 4.1 ilustra a trajetória da bola.

Figura 4.1: Trajetória de uma bola de golfe. Quando a bola está aumadistância ¯ xdopontodepar- tida, sua altura é f(¯ x).

a) Determine a altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 50 m de seu ponto de partida. b) Combaseemumatabeladepontos,traceatrajetóriadabolanoplanoCartesiano. c) Determine a que distância do ponto de partida a bola cai no chão.

Solução.

a) Aalturadabolaquandoelaestáaumadistânciahorizontalde50mdesuaposição original é dada por f(50) = −0,008⋅502 +50 = 30. Logo, a bola está a uma altura de 30 m. b) A Tabela 4.1 fornece uma lista de pares ordenados obtidos a partir da definição de f. Com base nesses pontos, traçamos o gráfico da Figura 4.2, que mostra a trajetória descrita pela bola.

Tabela 4.1

x f(x) 0 0,0 20 16,8 40 27,2 60 31,2 80 28,8 100 20,0 120 4,8 140 -16,8 Figura 4.2: Gráfico da função que representa a trajetória da bola de golfe.

c) Observando a Figura 4.2, concluímos que a bola toca o solo a cerca de 125 metros de seu ponto de partida. Para determinar com exatidão a coordenada horizontal desse ponto, basta lembrar que dizer que a bola está sobre o solo é o mesmo que afirmar que sua altura é zero. Assim, temos f(x) = 0, ou seja, −0,008x2 + x = 0 ⇒ x(−0,008x +1) = 0.

Seção 4.1. Funções quadráticas 295

As raízes dessa equação devem satisfazer x = 0 ou −0,008x + 1 = 0. Nesse último caso, temos −0,008x +1 = 0 ⇒ −0,008x = −1 ⇒ x = −1 −0,008 = 125. Logo, os pontos em que a bola toca o solo são aqueles nos quais x = 0 m (ponto de partida) e x = 125 m, que é a distância horizontal entre o ponto de partida e o ponto de queda da bola.

296 Capítulo 4. Funções polinomiais

É importante notar que uma função quadrática pode ser fornecida em outro for- mato que não aquele apresentado no quadro acima, como mostram os exemplos a seguir.

Problema 2. Conversão de funções quadráticas ao formato usual Converta as funções abaixo ao formato f(x) = ax2 + bx + c. a) f(x) = 2(x −1)(x +3) b) f(x) = −3(x −4)2 +6

Solução.

a) Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever 2(x −1)(x +3) = 2(x2 − x +3x −3) = 2x2 +4x −6. Logo, f(x) = 2x2 +4x −6. b) Usando a regra do quadrado da soma (ou seja, a propriedade distributiva mais uma vez), obtemos −3(x −4)2 +6 = −3(x2 −8x +16) +6 = −3x2 +24x −48+6 = −3x2 +24x −42. Assim, f(x) = −3x2 +24x −42.

∎ Gráfico das funções quadráticas O gráfico de uma função quadrática tem um formato característico – similar a uma letra “U” mais aberta –, e é chamado parábola. A Figura 4.3 mostra duas parábolas típicas.

(a) a > 0 (b) a < 0

Figura 4.3: Gráficos de parábolas e sua relação com o coeficiente a.

Observando as curvas da Figura 4.3, notamos que a função quadrática tem um ponto de mínimo ou um ponto de máximo local. A esse ponto especial da parábola damos o nome de vértice. Além disso, toda parábola é simétrica a uma reta vertical que passa por seu vértice. Essa reta vertical é denominada eixo de simetria. Outra característica importante de parábola é a sua concavidade, que é a lado para o qual a curva se abre. A Figura 4.3a mostra uma parábola com concavidade paracima,enquantoaFigura4.3bmostraumaparábolacomconcavidadeparabaixo.

Seção 4.1. Funções quadráticas 297

Note que há uma relação entre a concavidade e o sinal do coeficiente a. Se a > 0, a parábola tem concavidade para cima. Por outro lado, a concavidade é para baixo se a < 0. Oparâmetro a tambémcontrolaaaberturadaparábola. Quantomaiorforovalor absoluto desse parâmetro, menor será a abertura, e vice-versa, como ilustra a Figura 4.4.

Figura 4.4: Influência do parâmetro a sobre a abertura da parábola.

Por sua vez, o coeficiente c da função quadrática determina o intercepto-y da parábola, pois, tomando x = 0, temos f(0) = a ⋅02 + b ⋅0+ c = c. Já os interceptos-x da parábola correspondem às raízes da equação f(x) = 0, que