Atps CALCULO 3

Introdução

As integrais surgiram no estudo das áreas, mas, assim como as derivadas, revelaram possuir muitas outras aplicações.

O raciocínio empregado em cada um dos casos é sempre o mesmo e segue os seguintes passos:

1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de uma função;

2. A solução exata para o problema é obtida pela passagem ao limite;

3. O limite das somas de Riemann é identificado à integral de uma função.

Algumas concepções sobre integral definida

O conceito de integral definida (no sentido de Riemann) é tipicamente de cálculo como a área determinada entre o gráfico da função e o eixo horizontal em um intervalo fechado e limitado do domínio. Tal impressão adquirida permanece como um atributo ativo na imagem de conceito de maneira que a noção de área fica indiscriminadamente relacionada com o conceito de integral, como mostram pesquisas anteriores, como (RASSLAN & TALL).

Por outro lado, TALL (1992) sugere que a ideia de área seria uma raiz cognitiva adequada para o conceito de integral definida, pois atende as duas condições fundamentais de ser familiar para os estudantes e propiciar desenvolvimentos teóricos subsequentes. No entanto, pouca pesquisa tem sido feita para comprovar esta hipótese.

Há uma problemática envolvendo a noção de área que deve ser levada em consideração. Para que seja possível definir área, em toda a generalidade do cálculo integral, é necessário que o conceito de integral esteja previamente definido. A noção de área, no sentido do cálculo, só pode ser construída com base em algum processo de aproximação infinitesimal (como o método da exaustão utilizado na Grécia antiga ou a noção moderna de integral de Riemann), sem o qual só é possível definir área de figuras poligonais, calculadas através de métodos da geometria euclidiana. Portanto, a afirmação de que “a integral é a área sob a curva” pode ser encarada como uma definição de área, mas não de integral, já que integral é um conceito anterior. Essa dicotomia torna imprecisa a frase acima citada a ponto de levar a conflitos cognitivos na imagem do conceito desenvolvida por estudantes em estágios iniciais de aprendizagem de cálculo.

 

Definição de Integral Definida

Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença:

Variação em F entre x = a e x = b = F(b) – F(a)

O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo:

O símbolo é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é frequentemente conveniente usar o símbolo:

para a diferença F(b) – F(a).

Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma taxa de 2 + pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 meses?

Solução: P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao tempo dP/dx = 2 + e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 meses será a integral definida:

P(4) – P(0) = = 2 + 6 = 2x + = 2x + 4x + C

= (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) = 40 pessoas

 

Definição de Aplicações Gráficas

Sejam f, g : [a, b] → R funções contínuas. Calcule a área da região plana R delimitada pelo gráfico das funções contínuas y = f (x), y = g(x), se somente se a ≤ x ≤ b.

Figura 1.1: Área da região dada no problema - y = f (x), y = g(x)

Solução do Problema: O subconjunto P = {x0, x1, ......, xn} ⊂ [a, b] é chamado de partição de ordem n do intervalo [a, b] se:

a = x0 < x1 < x2 < ......... < xn−1 < xn = b

Subdividamos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos da partição P. Formemos os seguintes subintervalos:

[x0, x1], [x1, x2], ........, [xn−1, xn].

Denotemos qualquer destes subintervalos por [xi−1, xi], i variando de 1 até n.

Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimento do subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1 até n. Note que estes subintervalos não tem necessariamente o mesmo comprimento. Para cada i, variando de 1 até n, consideremos o retângulo Ri limitado pelas retas x = xi−1, x = xi, y = f (ci) e y = g(ci), onde ci ∈ [xi−1, xi].

Figura 1.2: Subdivisão da região.

Obtemos assim n retângulos Ri. É intuitivo que a soma das áreas dos n retângulos é uma "aproximação" da área da região R. Se n é muito grande ou, equivalentemente, se n cresce, então ∆xi ou seja a base do retângulo correspondente é muito pequena e a soma das áreas dos n retângulos aproxima-se cada vez mais da área da região R.

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Figura 1.3: Subdivisão da região

A área de cada Ri é |f (ci) − g(ci)| × ∆xi (base por altura); a soma Sn das áreas dos n retângulos é:

Sn é chamada soma de Riemann da função |f − g|. Denotemos por |∆xi| o maior dos ∆xi. A área de uma região plana R delimitada pelo gráfico das funções contínuas y = f (x), y = g(x) definidas no intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b é:

É possível provar, com rigor matemático que este limite sempre existe e é igual a área de R; mais ainda, este limite não depende da escolha da partição do intervalo