Atps Calculo 3

ETAPA 3

1.10 Primeiro Passo

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Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores.

Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato de este sinal ser determinante para o processo de somatórias consecutivas, próprio da integral definida, devemos considerar no cálculo a possibilidade da diminuição de valores no caso de haver áreas com valores negativos.

Sinais: da definição da integral de Riemann temos:

Obviamente, pode ser estabelecido e pode ser tomado como positivo se fizermos , logo nos resta:

Que é arbitrário, pois depende da função , o que nos leva a concluir que o sinal da função determina o sinal da integral, ou seja, embora o módulo da integral represente a área o eixo das abscissas, o seu valor relativo pode não expressar apenas valores positivos, o que nos indica que temos que analisar o sinal da função antes de calcular qualquer área através da integração.

Calculando as áreas: consideremos o caso da função

Os valores do seno entre e são positivos e entre e são negativos! Isto causa uma situação interessante, uma vez que as áreas entre a curva e o eixo dos dois intervalos, quando observadas no plano cartesiano, são idênticas, a área das duas deveria ser o dobro de uma delas, entretanto a integral calculada no intervalo entre e é nula! Esta é a razão pela qual devemos fazer o módulo das integrais em cada intervalo de mudança de sinal, para que os valores das áreas nestes intervalos não se subtraiam, provocando erro no cálculo.

Devemos verificar os intervalos onde a função se torna negativa e inverter o sinal antes de efetuar a soma de áreas em cada intervalo, assegurando assim o correto valor do total de unidades quadradas de área, delimitadas pela curva e o eixo .

No caso da função acima, teremos:

Sob diversas situações devemos verificar o comportamento do gráfico, para que possamos determinar a melhor maneira de calcular a área, no caso de áreas delimitadas por duas curvas podemos determinar a área de cada curva em relação ao eixo e verificar o comportamento das curvas no gráfico para determinar a forma de calcular. Na seção subsequente veremos como determinar área delimitada pela curva área delimitada por duas curvas.

1.11 Segundo Passo

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

01x dx= x22 entre [0,1] = 122- 022= 12 u .a

Parte 2

121xdx= ln(x) entre [1,2] = ln2-ln1=0,6931 u .a

Parte 3

02x4 dx= 0214 . x1= 14 02x=14 . x22= 228 entre [0,2] = 228 - 228 = 12 u . a

12+ 0,6931- 12=0,6931 u .a

Parte 1

Parte I.A = A=x . y

Parte I.B y+4x

Parte I.A

Por se tratar de um retângulo a área pode ser calculada diretamente pela multiplicação da base pela altura.

A= x.y A=1.4 A=4u.A

Parte I.B

144x dx = 1441 . 1x=4 141x=4 ln(x) entre [1,4] = 4 . ln4 - 4 ln1 = 5,545 u.a

Parte 1

A = 4 + 5,545 A= 9,545