Atps Calculo 3

são perfeitamente dispensáveis para o trabalho proposto e devem ser observadas as normas da ABNT para outros aspectos do trabalho.

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:

• GeoGebra. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em:

22 abr. 2012.

• Curso de GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

Solução Passo 1 (Equipe)

O SURGIMENTO DA INTEGRAL

Resumo

Muitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essas

áreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais. Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus

esforços com intensão desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial de

calcular áreas. Alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão

apresentados de forma sucinta neste artigo.

1 Introdução

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no

século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado.

Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e

comprimentos de arcos. Por exemplo: suponhamos dada uma função f: [a; b]⟹ IR, limitada no intervalo [a; b]. Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f (x) ≥ 0, ∀ x IR . Consideremos o conjunto S={(x, y) ∈ IR²; a≤ x ≤b, 0 ≤ y ≤ f (x)},

formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b. Qual a área deste conjunto? Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S, e em seguida, tentar calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real.

Como defini-lo? Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S. Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S. Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.

Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringir

nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não

negativa f: [a; b] →IR, de modo que S={(x, y) ∈ IR²; a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}, basta

considerar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

Figura 1

A área de S, por falta, será definida como integral inferior (figura 1) e a área por

excesso, como integral superior de f.

A teoria da integral desenvolveu-se, segundo as idéias de Newton e Leibniz como o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo [a; b]. De posse da noção de limite definiu integral para uma função contínua em [a; b] representada por:

f (x)dx

Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe das

funções quase contínuas por Riemann. O passo decisivo na teoria de integral foi dado em 1901 por Lebesgue.

2 Integral De Newton-Leibniz

Considere uma função contínua y = f(x), dado