Atps Calculo

1. ETAPA 1: CONCEITOS DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO.

1.1. Passo 1: o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com Δt → 0.

A velocidade instantânea é quando queremos saber qual a velocidade de um determinado objeto em um instante no tempo, fazendo-o tender a 0. Por exemplo: Sabemos que um automóvel está percorrendo uma estrada a uma velocidade média de 120 km/h, isso significa que ele percorre uma distância de 120 km em 1 hora, mas durante esta 1 hora ele irá acelerar, frear, consecutivamente. Então, se quisermos saber a velocidade deste automóvel, em cada instante desta 1 hora, precisará utilizar a velocidade instantânea a partir do limite, com Δt→ 0.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-o se o intervalo de tempo ΔΤ, fazendo-o tender a zero. Á medida que ΔΤ é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante.

V = Lim ΔЅ = dЅ

ΔΤ → 0 ΔΤ = dΤ

A ideia fundamental aqui é que a velocidade é a primeira derivada (em relação ao tempo)

da função posição Ѕ (Τ).

Exemplo

Uma partícula movimenta-se de acordo com a equação da posição Ѕ= 12Τ². A posição da partícula em 3 segundos, e a Vm quando ΔΤ→ 0 no mesmo tempo?

dЅ = 12 * 3² = 108 m

Vm = lim d(Ѕ) → lim Δt→ 0 = d(12t²) → Vm = 2*12t

Vm = 24t → função da velocidade em relação ao tempo.

A posição da partícula em 10 segundos:

Vm = 24 * ΔΤ → Vm = 24 * 10 → Vm = 240 m/s²

1.1.1. Comparação da fórmula aplicada na Física com a fórmula usada em Cálculo.

Comparar a fórmula aplicada na Física com a fórmula usada em Cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Na fórmula aplicada na Física e Cálculo, a velocidade em qualquer instante de tempo é obtida através da velocidade média, reduzindo-a até tender a 0.

V varia conforme diminui o valor de S, desta forma se o valor de S diminuir, consequentemente o valor de T também diminuirá. Então podemos afirmar que a velocidade é derivada da função espaço.

Fórmula aplicada em Física: V = ∆x / ∆t

• ∆x: é variação de espaço.

• ∆t: variação de tempo.

Fórmula aplicada em Cálculo: Velocidade Instantânea: f(x) = lim h→0 f(x+h)-f(x) / h

• h: é o intervalo de tempo.

• x: é o tempo.

1.1.2. A função velocidade como derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrado a função velocidade como derivada da função espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Integrantes do grupo com o RA:

ACRÍZIO JOSÉ SOARES 5631102692

DANILO CESAR GOMES NASCIMENTO 5656107150

JOSÉ IGOR DA SILVA RIBEIRO 5816122235

MAURO SÉRGIO NICÁCIO 5229949625

POLIANA PINTO BITENCOURT 1299183517

TAMILLA LACERDA DO Ó 6222139211

WILLY LUIZ SILVA DOS SANTOS 5229957899

Soma dos últimos algarismos do RA de cada integrante do grupo:

2 + 0 + 5 + 5 + 7+ 1 + 9 = 29

Derivando a equação S= S0 + V0* t + a * t² / 2

V0 = 0 S0 = 0

t = 5 s a = 29 m/s²

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*25/2 → S= 362,5 m

S= 0 + 0*5 + 29*5²/ 2 S= 29*12,5

1.2. Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

O tipo de função a ser usada é velocidade como derivada da função espaço:

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*1/2 → S= 14,5 m

S= 0 + 0*1+ 29*1²/ 2 S= 29*0,5

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*4/2 → S= 58 m

S= 0 + 0*2 + 29*2²/ 2 S= 29*2

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*9/2 → S= 130,5 m

S= 0 + 0*3 + 29*3²/ 2 S= 29*4,5

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*16/2 → S= 232 m

S= 0 + 0*4 + 29*4²/ 2 S= 29*8

S= S0 + V0* t + a * t²/ 2 → S= 29*25/2 → S= 362,5 m

S= 0 + 0*5 + 29*5²/ 2 S= 29*12,5

Gráfico com as funções S(m) x t(s) Gráfico com as funções V(m/s) x t(s)

14,5 m 1 s 14,5 m/s 1 s

58 m 2 s 29 m/s 2 s

130,5 m 3 s 43,5 m/s 3 s

232 m 4 s 58 m/s 4 s

362,5 m 5 s 72,5 m/s 5 s

1.3. Passo