Calculo Diferencial

Análise Matemática I, março de 15

Cálculo Diferencial

Definição da derivada: A derivada da função _em relação a x é o limite para o qual tende a razão do crescimento da função e o crescimento da variável independente quando este tende para zero.

Notações empregues: _

Dada a função _, o acréscimo da variável independente _ é _na variável dependente teremos _e _.

Pode-se calcular o acréscimo _da função _: _

Forma-se o quociente do acréscimo da função e da variável independente: _

Calcule-se limite da fracção quando _:_esta chama-se derivada de y=f(x) em relação a x

Exemplo 1: Calcule a derivada de _(1) num ponto qualquer x (2) bo ponto x=2

Resolução:

1. _Forma-se o quociente _: _

Passando ao limite quando _ teremos _assim _

2. Para x=3 _

Funções deriváveis

Definição: Se o_quando _existe dir-se-á que a função é derivável para _.

Teorema: Se a função _é derivável no ponto _, ela é contínua neste ponto.

Se _ quando _então _sendo que _é uma grandeza que tende para zero quando _

Nota: Nos pontos de descontinuidade uma função não pode ter derivada

Derivada das funções elementares

Derivada da função _

Para calcular a derivada desta função recorre-se às seguintes operações:

Dar o acréscimo _à variável x, calcular o valor correspondenteda função: _

Calcular o crescimento correspondente da função: _

Formar a razão entre o crescimento da função e o acréscimo da variável: _

Calcular o limite desta razão quando _

Teorema: A derivada da função _é igual a _se _então _

Demonstração

Se x sofre acréscimo _então: _

Desenvolver _usando a formula de binómio de Newton: _

Calcular o quociente __

Achar o limite do quociente quando _: _

Logo _cqd

Exemplos: _,_

Derivadas das funções _

Teorema 1: A derivada do senx é cosx i.e. se _

Demonstração:

Introduzir o acréscimo em x e y:_

Calcular o _:_

Achar o quociente _:_

Achar o limite quando __e isto resulta em afirmar que _, logo _a derivada de senx é cos x.

Teorema 2: A derivada do cosx é -senx i.e. se _

Demonstração:

Introduzir o acréscimo em x e y:_

Calcular o _:_

Achar o quociente _:_

Achar o limite quando __e isto resulta em afirmar que _, logo _a derivada de cosx é -senx.

Derivada duma constante

Teorema 1: A derivada duma constante é igual a zero.

Demonstração:

y=C , C=Constante

Considere-se _:_

Consequentemente _:_

Achar razão entre o crescimento da função e o crescimento da variável independente_

Logo o limite quando __

Derivada dum produto duma constante por um função

Teorema 2: Pode-se separar um factor constante de debaixo do sinal de derivação, i.e. se__.

Derivada