Calculo Diferencial

ATIVIDADE DE PORTIFOLIO AULA 03

QUESTÃO 01 -Nos exercícios1 a 8, encontre as equações das retas (i) tangente e (ii) normal ao gráfico da função dada no ponto indicado. Faça os gráficos das funções e das retas:

3.

i - equação da reta tangente

inicialmente determinenos a declividade da reta secante à curva.

m_r=〖lim〗┬(x→x_0 )⁡〖(h(x)-h(x_0))/(x-x_0 )〗=〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-√(0+1))/(x-0)〗=〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-1)/x〗

Se substituirmos o zero no limte teremos uma indeterminação, logo usemos a identidade a²-b²=(a-b)(a+b), para eliminarmos a indeterminação.

√(x+1)-1=((√(x+1))^2-(1)^2)/(√(x+1)+1)=x/(√(x+1)+1)

Assim,

〖lim〗┬(x→0)⁡〖(√(x+1)-1)/x〗=〖lim〗┬(x→0)⁡〖(x/(√(x+1)+1))/x〗=〖lim〗┬(x→0)⁡〖1/(√(x+1)+1)=〗 1/2=m_r

Então pela fórmula da equação geral da reta que é dada por

y-y_0=m(x-x_0 )

Notando que o ponto (0,1) e mr=1/2, temos:

y-y_0=m_r (x-x_0 )→y-1=1/2 (x-0)→2y-2=x→x-2y+2=r

ii - equação da reta normal

obs: Para obter a equação de qualquer reta só é necessário sabermos a declividade (coeficiente angular) e um ponto qualquer da reta. Neste caso nós já temos o ponto (0,1) basta agora saber a declividade. A reta normal (s) ela é perpendicular a reta tangente à curva, ou seja o seu coeficiente angular (declividade) será o inverso do oposto da reta tangente r, como mr=1/2 o ms=-2, logo usando a fórmula da equação geral da reta,

y-y_0=m_s (x-x_0 )→y-1=-2(x-0)→y-1=-2x→2x+y-1=s

iii – o gráfico

∎

5.

i - equação da reta tangente

determinenos a declividade da reta secante à curva.

m_r=〖lim〗┬(x→x_0 )⁡〖(n(x)-n(x_0))/(x-x_0 )〗=〖lim〗┬(x→2)⁡〖(-√(2x^2+1)-(-√(2.2^2+1)))/(x-2)〗=〖lim〗┬(x→2)⁡〖(-√(2x^2+1)+3)/(x-2)〗

Note que análogo a questão anterior:

3-√(2x^2+1)=(8-2x²)/(3+√(2x^2+1))=((x-2)(-2x-4))/(3+√(2x^2+1))

Assim,

〖lim〗┬(x→2)⁡〖(-√(2x^2+1)+3)/(x-2)〗=〖lim〗┬(x→2)⁡〖(((x-2)(-2x-4))/(3+√(2x^2+1)))/(x-2)〗=〖lim〗┬(x→0)⁡〖(-2x-4)/(3+√(2x^2+1))=〗-8/3=m_r

Use a equação geral da reta e encontre a equação da reta tangente

y-y_0=m_R (x-x_0 )

ii - equação da reta normal

análogo ao item (a)

iii – o gráfico

use o geogebra.

QUESTÃO 02 - Nos exercícios1 a 12, determine a derivada da função dada, usando a definição:

3.

Pela definição a derivada é calculada atraves do limite

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗

Façamos f(∆x+x) que no caso é

c(∆x+x_1 )=(∆x+x_1 )^3-(∆x+x_1 )+2=∆x^3+3∆x²x_1^ +3∆xx_1^2+x_1^3-∆x-x_1+2

f(x_1 )=x_1 ³-x_1+2

Substituindo no limite

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(∆x^3+3∆x²x_1^ +3∆xx_1^2+x_1^3-∆x-x_1+2-(x_1 ³-x_1+2))/∆x〗=

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(∆x^3+3∆x²x_1^ +3∆xx_1^2+x_1^3-∆x-x_1+2-x_1^3+x_1-2)/∆x〗

Cancelando alguns termos

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(∆x^3+3∆x²x_1^ +3∆xx_1^2-∆x)/∆x〗

e colocando ∆x em evidencia, temos

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(∆x(∆x^2+3∆xx_1^ +3x_1^2-1))/∆x〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖∆x^2+3∆xx_1^ +3x_1^2-1〗

Substituindo ∆x=0, temos

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖∆x^2+3∆xx_1^ +3x_1^2-1〗=3x_1^2-1∎

5.

Pela definição a derivada é calculada atraves do limite

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗

Façamos f(∆x+x_1 ) que no caso é

e(∆x+x_1 )=√((∆x+x_1 )^2-1)=√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)

f(x_1 )=√(〖x_1〗^2-1)

〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(f(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)-√(〖x_1〗^2-1))/∆x〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖(√(∆x^2+2∆xx_1+x_1^2-1)-√(〖x_1〗^2-1))(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1))/∆x(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1)) 〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖((∆x^2+2∆xx_1+x_1^2-1-〖x_1〗^2+1))/∆x(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1)) 〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖((∆x^2+2∆xx_1 ))/∆x(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1)) 〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖∆x(∆x^ +2x_1 )/∆x(√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1)) 〗=〖lim〗┬(∆x→0)⁡〖((∆x^ +2x_1 ))/((√(∆x²+2∆xx_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1)) )〗=(0+2x_1)/(√(0²+2.0.x_1+x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1))=(2x_1)/(√(x_1 ²-1)+√(〖x_1〗^2-1))=(2x_1)/(2√(〖x_1〗^2-1))=x_1/√(〖x_1〗^2-1)∎

Nos exercícios13 a 26, verifique se a função dada é derivável no valor indicado:

23.

Calculemos os limites laterais abaixo

〖lim〗┬(∆x→0^+ )⁡〖(k(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗 e o 〖lim〗┬(∆x→0^- )⁡〖(k(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗

Então por partes

〖lim〗┬(∆x→0^+ )⁡〖(k(∆x+x_1)-f(x_1))/∆x〗=〖lim〗┬(∆x→0^+